Vediamo in questo appunto cosa sono i vertici di un’ellisse e come calcolarli con alcuni esempi di esercizi. In particolare vedremo:

Cosa sono i vertici di un’ellisse

I vertici di un’ellisse sono i punti estremi degli assi dell’ellisse.

vertici di un'ellisse: tipologia di ellissi

vediamo nel seguito dell’appunto come calcolare le coordinate dei vertici a partire dall’equazione dell’ellisse. Partiremo dai casi particolari di ellissi con i fuochi sull’asse delle ascisse o delle ordinate e con il centro all’origine degli assi.

Vertici di un’ellisse quando i fuochi sono sull’asse delle ascisse e il centro all’origine degli assi

L’equazione dell’ellisse con centro nell’origine degli assi e con fuochi sull’asse delle ascisse (o delle ordinate), incontra gli assi in quattro punti le cui coordinate si calcolano risolvendo i seguenti sistemi:

\left\{\begin{matrix}
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ \,\\
y=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right. ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{matrix}
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \\ \,\\
x=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right.

otteniamo dunque le due equazioni risolventi:

\frac{x^{2}}{a^{2}} =1 \Rightarrow x^{2} = a^{2}  \Rightarrow x = \pm a   \\\,\\\frac{y^{2}}{b^{2}} =1 \Rightarrow y^{2} = b^{2}  \Rightarrow y = \pm b 

ne consegue dunque che i punti di intersezione dell’ellisse con gli assi cartesiani quando il suo centro coincide con l’origine e i fuochi sono sull’asse delle ascisse sono:

A_{1} (-a,0) \\ A_{2}(a,0)\,\,\,\,\,\, \\B_{1}(0,-b) \,\,\,\\ B_{2}(0,b)\,\,\,\,\,\,\,\,\,

Tali punti sono detti vertici dell’ellisse. Rappresentiamoli in figura:

vertici di un'ellisse: coordinate per ellisse con centro nell'origine degli assi e con fuochi allineati orizzontalmente

I vertici sono i punti per i quali, tracciando le rette parallele agli assi cartesiani, è possibile identificare il rettangolo che contiene l’ellisse. Se riscriviamo infatti l’equazione dell’ellisse in forma esplicita per ciascuna variabile, otterremmo per x la forma:

x= \pm \frac{a}{b}\sqrt{b^{2}-y^{2}}

il cui campo di esistenza è quello per il quale l’argomento della radice è positivo, per cui:

b^{2}-y^{2}>0 \Rightarrow \mathbf{-b< y < b}

mentre, l’equazione esplicita per y sarebbe:

y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}

il cui campo di esistenza è quello per il quale l’argomento della radice è positivo, per cui:

a^{2}-x^{2}  \Rightarrow \mathbf{-a < x < a }

dunque l’ellisse esiste solo se:

-b< y< b\,\,\,  \wedge -a < x  < a

che sono proprio i punti interni al rettangolo i cui lati passano per i vertici dell’ellisse:

vertici di un'ellisse: ellisse inscritta in rettangolo

tale condizione è necessaria ma non sufficiente. Infatti essa identifica anche punti appartenenti al rettangolo ma esterni all’ellisse. L’unica condizione che consente di identificare esattamente se un punto è interno o no all’ellisse è porre la condizione:

\mathbf{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}<1}
Vertici di un’ellisse quando i fuochi sono sull’asse delle ordinate e il centro all’origine degli assi

Quando l’ellisse ha i fuochi sull’asse delle ordinate si ottiene una situazione molto simile a quella descritta nel paragrafo precedente. Se consideriamo l’equazione dell’ellisse in questo caso data da:

\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1

allora, senza ripercorrere la trattazione completa fatta per il caso visto prima, riassumiamo i risultati in figura:

dove i vertici hanno a questo punto le seguenti coordinate:

A_{1} (0,a) \,\,\\\ A_{2}(0,-a) \\B_{1}(-b,0) \\\ B_{2}(b,0)\,\,\,\,\,\,
Vertici di un’ellisse traslata

Quando abbiamo a che fare con un’ellisse traslata non è più possibile calcolare le coordinate dei vertici calcolando i punti di intersezione dell’ellisse con gli assi cartesiani. Ricordiamo che quando un’ellisse è tale da non avere più il centro coincidente con l’origine degli assi, ma traslato di un vettore v(xC, yC), allora essa avrà equazione:

\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}} = 1

e avrà centro nel punto C di coordinate:

C(x_{C}, y_{C})

ne consegue che è possibile ottenere le coordinate dei vertici intersecando l’equazione dell’ellisse con le due rette parallele agli assi cartesiani e passanti per il centro C:

x=x_{C} \\\,\\ y=y_{C}
vertici di un'ellisse traslata

eseguiamo la prima intersezione:

\left\{\begin{matrix}
\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}} = 1\\ \,\\
x=x_{C} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

\end{matrix}\right.

sostituendo la x della seconda equazione nella prima, otteniamo l’equazione risolvente:

\frac{(x_{C}-x_{C})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}} = 1 \\\,\\  \Rightarrow \\\,\\0+\frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}} = 1\\\,\\\Rightarrow \\\,\\(y-y_{C})^{2} = b^{2}  

estraendo la radice quadrata in entrambi i membri otteniamo:

y-y_{C} = \pm b

da cui:

y_{1} = y_{C}-b\\\,\\y_{2} = y_{C}+b

dunque, facendo riferimento alla figura di prima, abbiamo le coordinate dei primi due vertici:

B_{1} (x_{C}, y_{C}-b) \\\,\\ B_{2} (x_{C}, y_{C}+b) 

adesso eseguiamo la seconda intersezione:

\left\{\begin{matrix}
\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}} = 1\\ \,\\
y=y_{C} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

\end{matrix}\right.

allo stesso modo di quanto fatto con il sistema precedente, otteniamo l’equazione risolvente:

\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y_{C}-y_{C})^{2}}{b^{2}} = 1\\ \,\\ \Rightarrow \\\,\\\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}} + 0^{2} = 1\\ \,\\ \Rightarrow \\\,\\ (x-x_{C})^{2} = a^{2}

estraendo la radice quadrata in ambo i membri, otteniamo:

x_{1} = x_{C}-a\\\,\\x_{2} = x_{C}+a

per cui le coordinate dei due vertici orizzontali saranno:

A_{1} (x_{C}-a, y_{C}) \\\,\\ A_{2} (x_{C}+a, y_{C}) 

dunque per ricapitolare i 4 vertici saranno:

A_{1} (x_{C}-a, y_{C}) \\\,\\ A_{2} (x_{C}+a, y_{C})  \\\,\\B_{1} (x_{C}, y_{C}-b) \\\,\\ B_{2} (x_{C}, y_{C}+b) 

essi possono essere dunque calcolati direttamente dall’equazione dell’ellisse.

Come calcolare i vertici di un’ellisse

Il calcolo delle coordinate dei vertici di un’ellisse può essere fatto direttamente dall’equazione della stessa. Riassumiamo i quattro casi visti nei paragrafi precedenti nella seguente tabella:

tabella riassuntiva per il calcolo dei vertici di un'ellisse
Tabella 1: casi di ellissi con fuochi allineati orizzontalmente o verticalmente. Nei casi riportati il termine a è sempre inteso maggiore del termine b
Esempi di esercizi

Esercizio 1

Individua le coordinate dei vertici della seguente ellisse:

\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{64}=1

analizziamo innanzitutto l’equazione dell’ellisse. Poiché il termine al denominatore della y è maggiore del termine al denominatore della x e mancando altri termini al numeratore, abbiamo a che fare con un ellisse con centro all’origine degli assi e con fuochi sull’asse delle y. Siamo quindi nel secondo caso della tabella precedente dove:

a^{2}=64 \Rightarrow a=\pm8 \\\,\\ b^{2}=9 \Rightarrow b=\pm 3 

per cui le coordinate dei vertici saranno:

A_{1} (0,8) \,\,\\\ A_{2}(0,-8) \\B_{1}(-3,0) \\\ B_{2}(3,0)\,\,\,\,\,\,

Esercizio 2

Individua le coordinate dei vertici della seguente ellisse:

\frac{(x-2)^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} =1

Dall’analisi dell’equazione possiamo subito identificare il tipo di ellisse con cui abbiamo a che fare. Il denominatore del termine in x è maggiore del denominatore del termine in y (a=6; b=4). Questo ci dice che i fuochi sono disposti orizzontalmente. La presenza del termine x-2 ci dice che il centro dell’ellisse non coincide con l’origine degli assi. Il centro C dell’ellisse sarà allora:

C(2,0)

Siamo dunque nel terzo dei casi riportati in tabella. Le coordinate dei vertici saranno allora:

A_{1}(-a+x_{C},0) \,\,\Rightarrow  \,\,  A_{1}(-4,0) \\\,\\ A_{2}(a+x_{C},0) \,\,\Rightarrow  \,\,  A_{2}(8,0) \,\,\,\,\,\,\,\, \\\,\\ B_{1}(0,-b+y_{C}) \,\,\Rightarrow  \,\,  B_{1}(0,-4) \\\,\\ B_{2}(0,b+y_{C}) \,\,\Rightarrow  \,\,  B_{1}(0,4) \,\,\,\,\,\,\,\,

Esercizio 3

Calcola le coordinate dei vertici della seguente ellisse:

\frac{(x+2)^{2}}{9} +\frac{(y+1)^{2}}{16}  =1

Dall’analisi dell’equazione possiamo evincere che abbiamo a che fare con una ellisse i cui fuochi sono allineati verticalmente (a=4; b=3) e il cui centro non è nell’origine degli assi ma nel punto C(-2;-1). Siamo allora nel quarto caso di quelli esposti nella tabella precedente. Abbiamo dunque che le coordinate dei vertici saranno:

A_{1}(0,-a+x_{C}) \,\,\Rightarrow  \,\,  A_{1}(0,-6) \\\,\\ A_{2}(0,a+x_{C}) \,\,\Rightarrow  \,\,  A_{2}(0,2) \,\,\,\,\,\,\,\, \\\,\\ B_{1}(-b+y_{C},0) \,\,\Rightarrow  \,\,  B_{1}(-4,0) \\\,\\ B_{2}(b+y_{C},0) \,\,\Rightarrow  \,\,  B_{1}(2,0) \,\,\,\,\,\,\,\,

 

Vertici di un’ellisse
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