Vediamo in questo appunto come verificare se un punto appartiene ad una circonferenza o se in alternativa questo è interno o esterno a quest’ultima. In particolare vedremo:

Come verificare se un punto appartiene alla circonferenza

Come già visto per la retta e per la parabola, verificare che un punto appartiene ad una circonferenza vuol dire sostituire le sue coordinate all’equazione della circonferenza e verificare che sia soddisfatta l’uguaglianza. Dato quindi un punto A(xA,yA) ed una circonferenza di equazione:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0

se sostituendo le coordinate di A all’equazione della circonferenza:

x^{2}_{A}+y^{2}_{A}+ax_{A}+by_{A}+c=0

l’uguaglianza è soddisfatta, allora il punto A appartiene alla circonferenza. Vedremo nei paragrafi successivi qualche esempio numerico.

Punti interni ed esterni alla circonferenza: cosa sono e come individuarli

Un punto del piano cartesiano può appartenere alla circonferenza oppure essere interno o esterno.

 

Verificaare se un punto appartiene alla circonferenza

Ricorda dunque che:

  • Un punto appartiene alla circonferenza se la distanza dal centro è uguale al raggio
  • Se la distanza di un punto dal centro è minore del raggio allora esso sarà interno
  • Quando la distanza di un punto dal centro è maggiore del raggio allora sarà esterno

Abbiamo visto nel paragrafo precedente che per verificare se un punto appartiene alla circonferenza, basta sostituire le sue coordinate all’equazione della circonferenza e verificare che l’uguaglianza sia rispettata. Ma come si riconoscono i punti interni ed esterni?

Consideriamo la definizione algebrica di circonferenza dove dato un centro C(p,q) ed un raggio r, l’equazione della circonferenza diventa:

(x-p)^{2} + (y-q)^{2} =r^{2} 

adesso se a questa equazione sostituiamo le coordinate di un punto appartenente alla circonferenza otterremo una quantità proprio identica al quadrato del raggio. Se invece utilizzassimo le coordinate di un punto B interno alla circonferenza otterremmo:

(x_{B}-p)^{2} + (y_{B}-q)^{2} <  r^{2} \,\,\,\, \Rightarrow (x_{B}-p)^{2} + (y_{B}-q)^{2} - r^{2}< 0

Se invece sostituissimo le coordinate di un punto C esterno alla circonferenza, otterremo:

(x_{C}-p)^{2} + (y_{C}-q)^{2} >  r^{2} \,\,\,\, \Rightarrow (x_{C}-p)^{2} + (y_{C}-q)^{2} - r^{2}> 0

Dunque, se sostituendo le coordinate di un generico punto del piano cartesiano all’equazione di una circonferenza otteniamo un’uguaglianza, allora il punto deve appartenere alla circonferenza. Se dalla semplice sostituzione e senza operare cambio di segni moltiplicando per meno 1 i membri dell’equazione otteniamo una disuguaglianza, esso sarà interno se il primo membro è minore di 0 ed esterno in caso contrario. In alternativa, per stabilire se un punto è interno o esterno alla parabola si può calcolare la distanza dal centro e confrontarla con il raggio.

Esempio di esercizio

Verificare se i punti A(3,1), B(1,2), D(4,1) appartengono alla circonferenza x2+y2-4x-2y+3=0

Sostituiamo le coordinate del punto A all’equazione della circonferenza:

x^{2}+y^{2}-4x-2y+3=0 \\ \, \\\Rightarrow \\\,\\(3)^{2} + (1)^{2} -4(3)-2(1)+3=0 \\ \, \\\Rightarrow \\\,\\9+1-12-2+3=0 \\ \, \\\Rightarrow \\\,\\-1=0

Abbiamo ottenuto una disuguaglianza. Poiché sostituendo le coordinate all’equazione e senza aver operato un cambio di segno otteniamo che il primo membro è minore di zero, allora possiamo affermare che il punto A è interno alla circonferenza. Si noti che non è stato cambiato mail segno nel corso dei calcoli. In caso contrario avremmo ottenuto la disuguaglianza 1=0 che ci avrebbe erroneamente portato a dire che il punto fosse esterno alla parabola.

Adesso verifichiamo il punto B(1,2):

x^{2}+y^{2}-4x-2y+3=0 \\ \, \\\Rightarrow \\\,\\(1)^{2} + (2)^{2} -4(1)-2(2)+3=0 \\ \, \\\Rightarrow \\\,\\1+4-4-4+3=0 \\ \, \\\Rightarrow \\\,\\0=0

L’uguaglianza è soddisfatta ed il punto appartiene alla circonferenza.

Verifichiamo adesso il punto D(4,1)

x^{2}+y^{2}-4x-2y+3=0 \\ \, \\\Rightarrow \\\,\\(4)^{2} + (1)^{2} -4(4)-2(1)+3=0 \\ \, \\\Rightarrow \\\,\\16+1-16-2+3=0 \\ \, \\\Rightarrow \\\,\\2=0

Il punto non appartiene alla circonferenza. Poiché non abbiamo operato cambi di segno, allora possiamo dire che il punto è esterno circonferenza.

Verifichiamo adesso quanto stabilito per i punto A,B e D. Calcoliamo il raggio della circonferenza. Ricordiamo che:

r= \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} \, \Rightarrow \, r= \frac{1}{2}\sqrt{(-4)^{2}+(-2)^{2}-4(3)}  \, \Rightarrow \, r= \frac{1}{2}\sqrt{(16+4-12} \\ \, \Rightarrow \,\\ r= \frac{1}{2}\sqrt{8} \Rightarrow r=\sqrt{2}

Il centro della circonferenza invece sarà:

C \left( -\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right) \Rightarrow C \left( 2,1\right)

Verifichiamo adesso le distanze dei punti A, B e D e le confrontiamo con r:

d_{AC} = \sqrt{(x_{A}-x_{C})^{2}+(y_{A}-y_{C})^{2}} \Rightarrow \sqrt{(3-2)^{2}+(1-1)^{2}} \Rightarrow \sqrt{1^{2}+0^{2}} =1
d_{BC} = \sqrt{(x_{B}-x_{C})^{2}+(y_{B}-y_{C})^{2}} \Rightarrow \sqrt{(1-2)^{2}+(2-1)^{2}} \Rightarrow \sqrt{1^{2}+1^{2}} =\sqrt{2}
d_{DC} = \sqrt{(x_{D}-x_{C})^{2}+(y_{D}-y_{C})^{2}} \Rightarrow \sqrt{(4-2)^{2}+(1-1)^{2}} \Rightarrow \sqrt{4+0} =2

Confrontando le distanze con il centro ed il raggio della circonferenza possiamo confermare che A è interno, B appartiene e D è esterno alla circonferenza!

Verificare se un punto appartiene ad una circonferenza
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