Vediamo in questo appunto come verificare se un punto appartiene ad una circonferenza o se in alternativa questo è interno o esterno a quest’ultima. In particolare vedremo:
- Come verificare se un punto appartiene ad una circonferenza
- Punti interni ed esterni alla circonferenza: cosa sono e come individuarli
- Esempio di esercizio
Come verificare se un punto appartiene alla circonferenza
Come già visto per la retta e per la parabola, verificare che un punto appartiene ad una circonferenza vuol dire sostituire le sue coordinate all’equazione della circonferenza e verificare che sia soddisfatta l’uguaglianza. Dato quindi un punto A(xA,yA) ed una circonferenza di equazione:
x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0
se sostituendo le coordinate di A all’equazione della circonferenza:
x^{2}_{A}+y^{2}_{A}+ax_{A}+by_{A}+c=0
l’uguaglianza è soddisfatta, allora il punto A appartiene alla circonferenza. Vedremo nei paragrafi successivi qualche esempio numerico.
Punti interni ed esterni alla circonferenza: cosa sono e come individuarli
Un punto del piano cartesiano può appartenere alla circonferenza oppure essere interno o esterno.
Ricorda dunque che:
- Un punto appartiene alla circonferenza se la distanza dal centro è uguale al raggio
- Se la distanza di un punto dal centro è minore del raggio allora esso sarà interno
- Quando la distanza di un punto dal centro è maggiore del raggio allora sarà esterno
Abbiamo visto nel paragrafo precedente che per verificare se un punto appartiene alla circonferenza, basta sostituire le sue coordinate all’equazione della circonferenza e verificare che l’uguaglianza sia rispettata. Ma come si riconoscono i punti interni ed esterni?
Consideriamo la definizione algebrica di circonferenza dove dato un centro C(p,q) ed un raggio r, l’equazione della circonferenza diventa:
(x-p)^{2} + (y-q)^{2} =r^{2}
adesso se a questa equazione sostituiamo le coordinate di un punto appartenente alla circonferenza otterremo una quantità proprio identica al quadrato del raggio. Se invece utilizzassimo le coordinate di un punto B interno alla circonferenza otterremmo:
(x_{B}-p)^{2} + (y_{B}-q)^{2} < r^{2} \,\,\,\, \Rightarrow (x_{B}-p)^{2} + (y_{B}-q)^{2} - r^{2}< 0
Se invece sostituissimo le coordinate di un punto C esterno alla circonferenza, otterremo:
(x_{C}-p)^{2} + (y_{C}-q)^{2} > r^{2} \,\,\,\, \Rightarrow (x_{C}-p)^{2} + (y_{C}-q)^{2} - r^{2}> 0
Dunque, se sostituendo le coordinate di un generico punto del piano cartesiano all’equazione di una circonferenza otteniamo un’uguaglianza, allora il punto deve appartenere alla circonferenza. Se dalla semplice sostituzione e senza operare cambio di segni moltiplicando per meno 1 i membri dell’equazione otteniamo una disuguaglianza, esso sarà interno se il primo membro è minore di 0 ed esterno in caso contrario. In alternativa, per stabilire se un punto è interno o esterno alla parabola si può calcolare la distanza dal centro e confrontarla con il raggio.
In sintesi le condizioni algebriche possono essere riassunte nel seguente modo:
-
- Un punto appartenente alla circonferenza ha delle coordinate che soddisfano l’equazione della circonferenza
- Il punto è interno alla circonferenza se è soluzione della disequazione:
x^{2}+y^{2}+ax+by+c<0
-
- Il punto è esterno alla circonferenza se è soluzione della disequazione:
x^{2}+y^{2}+ax+by+c>0
Esempio di esercizio
Verificare se i punti A(3,1), B(1,2), D(4,1) appartengono alla circonferenza x2+y2-4x-2y+3=0
Sostituiamo le coordinate del punto A all’equazione della circonferenza:
x^{2}+y^{2}-4x-2y+3=0 \\ \, \\\Rightarrow \\\,\\(3)^{2} + (1)^{2} -4(3)-2(1)+3=0 \\ \, \\\Rightarrow \\\,\\9+1-12-2+3=0 \\ \, \\\Rightarrow \\\,\\-1=0
Abbiamo ottenuto una disuguaglianza. Poiché sostituendo le coordinate all’equazione e senza aver operato un cambio di segno otteniamo che il primo membro è minore di zero, allora possiamo affermare che il punto A è interno alla circonferenza. Si noti che non è stato cambiato mail segno nel corso dei calcoli. In caso contrario avremmo ottenuto la disuguaglianza 1=0 che ci avrebbe erroneamente portato a dire che il punto fosse esterno alla parabola.
Adesso verifichiamo il punto B(1,2):
x^{2}+y^{2}-4x-2y+3=0 \\ \, \\\Rightarrow \\\,\\(1)^{2} + (2)^{2} -4(1)-2(2)+3=0 \\ \, \\\Rightarrow \\\,\\1+4-4-4+3=0 \\ \, \\\Rightarrow \\\,\\0=0
L’uguaglianza è soddisfatta ed il punto appartiene alla circonferenza.
Verifichiamo adesso il punto D(4,1)
x^{2}+y^{2}-4x-2y+3=0 \\ \, \\\Rightarrow \\\,\\(4)^{2} + (1)^{2} -4(4)-2(1)+3=0 \\ \, \\\Rightarrow \\\,\\16+1-16-2+3=0 \\ \, \\\Rightarrow \\\,\\2=0
Il punto non appartiene alla circonferenza. Poiché non abbiamo operato cambi di segno, allora possiamo dire che il punto è esterno circonferenza.
Verifichiamo adesso quanto stabilito per i punto A,B e D. Calcoliamo il raggio della circonferenza. Ricordiamo che:
r= \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} \, \Rightarrow \, r= \frac{1}{2}\sqrt{(-4)^{2}+(-2)^{2}-4(3)} \, \Rightarrow \, r= \frac{1}{2}\sqrt{(16+4-12} \\ \, \Rightarrow \,\\ r= \frac{1}{2}\sqrt{8} \Rightarrow r=\sqrt{2}
Il centro della circonferenza invece sarà:
C \left( -\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right) \Rightarrow C \left( 2,1\right)
Verifichiamo adesso le distanze dei punti A, B e D e le confrontiamo con r:
d_{AC} = \sqrt{(x_{A}-x_{C})^{2}+(y_{A}-y_{C})^{2}} \Rightarrow \sqrt{(3-2)^{2}+(1-1)^{2}} \Rightarrow \sqrt{1^{2}+0^{2}} =1
d_{BC} = \sqrt{(x_{B}-x_{C})^{2}+(y_{B}-y_{C})^{2}} \Rightarrow \sqrt{(1-2)^{2}+(2-1)^{2}} \Rightarrow \sqrt{1^{2}+1^{2}} =\sqrt{2}
d_{DC} = \sqrt{(x_{D}-x_{C})^{2}+(y_{D}-y_{C})^{2}} \Rightarrow \sqrt{(4-2)^{2}+(1-1)^{2}} \Rightarrow \sqrt{4+0} =2
Confrontando le distanze con il centro ed il raggio della circonferenza possiamo confermare che A è interno, B appartiene e D è esterno alla circonferenza!
