Vediamo in questo breve appunto in che modo è possibile verificare l’appartenenza di un punto ad una retta nel piano cartesiano. In particolare avrai l’opportunità di imparare la condizione necessaria di appartenenza di un punto ad una retta e di avere accesso a qualche esercizio di esempio. I paragrafi sono dunque strutturati nel seguente modo:

Se hai bisogno di appunti relativi ad altri concetti di geometria analitica ti rimandiamo al seguente link

Condizione necessaria di appartenenza di un punto ad una retta

Al fine di poter verificare l’appartenenza di un punto ad una retta è necessario che le sue coordinate siano una soluzione dell’equazione della retta. Sia che questa sia in forma esplicita o implicita, sostituendo alle generiche variabili x e y dell’equazione il valore delle coordinate del punto di interesse, l’equivalenza deve essere verificata. Consideriamo quindi un punto P di coordinate xP yP ed una retta di equazione

 

y=mx+q

 

Il punto P appartiene alla retta se si verifica dunque la seguente uguaglianza

 

y_{P} = mx_{P}+q

Nell’immagine sotto, il punto A non appartiene alla retta y=mx+q e quindi le sue coordinate non soddisferanno l’equazione della retta. Al contrario le coordinate del punto B consentiranno di ottenere un’identità

appartenenza di un punto ad una retta

 

In alcuni casi, l’equazione della retta ci fornisce sufficienti informazioni per comprendere senza fare calcoli e sostituzioni se un punto appartiene o no ad una retta. Ne vediamo alcuni:

  • Caso 1: y=mx o ax+by=0

Con equazioni di questo tipo non è necessario ad esempio verificare l’appartenenza dell’origine O(0,0) del piano cartesiano. Per queste rette infatti notiamo che il termine noto, detto intercetta o ordinata all’origine della retta, è nullo motivo per il quale è possibile dire che l’origine appartiene ad esse.

  • Caso 2: x=k 

In questo caso qualsiasi punto che abbia ascissa pari a k appartiene alla retta e qualsiasi punto con ascissa diversa non ci appartiene.

  • Caso 3: y=q

Similmente al caso precedente, tutti i punti con ordinata q fanno parte della retta, mentre tutti i punti con ordinata diversa da q non ne fanno parte.

  • Caso 4: y=x

A questa retta fanno parte tutti i punti aventi coordinate tali che l’ascissa coincide con l’ordinata. Ad esempio il punto B(3,3) appartiene alla retta y=x.

  • Caso 5: y=-x

A questa retta fanno parte tutti i punti con ascissa e ordinata opposte in segno.

 

 

Vediamo nel prossimo paragrafo alcuni esempi specifici in cui verifichiamo l’appartenenza di un punto ad una retta.

 

Esempi di esercizi

Esempio 1

Verificare l’appartenenza del punto P(2,1) alla retta di equazione 3x+4y-5=0

Sostituiamo le coordinate del punto all’equazione della retta. Otteniamo:

3x+4y-5=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\3x_{P}+4y_{P}-5=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 3(2)+4(1)-5=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\  6+4-5=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\  5=0

Sostituendo le coordinate del punto all’equazione, essa non è soddisfatta! Possiamo dunque concludere che il punto P(2,1) non appartiene alla retta 3x+4y-5=0. Verifichiamo quanto ottenuto graficamente:

appartenenza di un punto ad una retta esercizio 1

Esempio 2

Verificare l’appartenenza del punto P(3,2) alla retta di equazione y=2x-4

Sostituiamo le coordinate del punto all’equazione della retta. Otteniamo:

y=2x-4 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\  y_{P}=2x_{P}-4 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\  2=2(3)-4 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 2=6-4\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\  2=2

L’equazione è soddisfatta. Possiamo dunque concludere che il punto appartiene alla retta. Verifichiamo graficamente quanto detto:

 

Esempio 3

Verificare l’appartenenza del punto P(3,2) alla retta di equazione y=3

In questo caso la sostituzione sarebbe banale ma non la facciamo. E’ evidente che il punto non appartiene alla retta in quanto la sua ordinata non è 3. 

Esempio 4

Verificare l’appartenenza del punto P(3,2) alla retta y=x

Anche in questo caso possiamo affermare che il punto non appartiene alla retta y=x in quanto ordinata ed intercetta non sono uguali.

 

 

Verificare l’appartenenza di un punto ad una retta
Tag: