Vediamo in questo breve appunto in che modo è possibile verificare l’appartenenza di un punto ad una retta nel piano cartesiano. In particolare avrai l’opportunità di imparare la condizione necessaria di appartenenza di un punto ad una retta e di avere accesso a qualche esercizio di esempio. I paragrafi sono dunque strutturati nel seguente modo:
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Condizione necessaria di appartenenza di un punto ad una retta
Al fine di poter verificare l’appartenenza di un punto ad una retta è necessario che le sue coordinate siano una soluzione dell’equazione della retta. Sia che questa sia in forma esplicita o implicita, sostituendo alle generiche variabili x e y dell’equazione il valore delle coordinate del punto di interesse, l’equivalenza deve essere verificata. Consideriamo quindi un punto P di coordinate xP yP ed una retta di equazione
y=mx+q
Il punto P appartiene alla retta se si verifica dunque la seguente uguaglianza
y_{P} = mx_{P}+q
Nell’immagine sotto, il punto A non appartiene alla retta y=mx+q e quindi le sue coordinate non soddisferanno l’equazione della retta. Al contrario le coordinate del punto B consentiranno di ottenere un’identità
In alcuni casi, l’equazione della retta ci fornisce sufficienti informazioni per comprendere senza fare calcoli e sostituzioni se un punto appartiene o no ad una retta. Ne vediamo alcuni:
- Caso 1: y=mx o ax+by=0
Con equazioni di questo tipo non è necessario ad esempio verificare l’appartenenza dell’origine O(0,0) del piano cartesiano. Per queste rette infatti notiamo che il termine noto, detto intercetta o ordinata all’origine della retta, è nullo motivo per il quale è possibile dire che l’origine appartiene ad esse.
- Caso 2: x=k
In questo caso qualsiasi punto che abbia ascissa pari a k appartiene alla retta e qualsiasi punto con ascissa diversa non ci appartiene.
- Caso 3: y=q
Similmente al caso precedente, tutti i punti con ordinata q fanno parte della retta, mentre tutti i punti con ordinata diversa da q non ne fanno parte.
- Caso 4: y=x
A questa retta fanno parte tutti i punti aventi coordinate tali che l’ascissa coincide con l’ordinata. Ad esempio il punto B(3,3) appartiene alla retta y=x.
- Caso 5: y=-x
A questa retta fanno parte tutti i punti con ascissa e ordinata opposte in segno.
Vediamo nel prossimo paragrafo alcuni esempi specifici in cui verifichiamo l’appartenenza di un punto ad una retta.
Esempi di esercizi
Esempio 1
Verificare l’appartenenza del punto P(2,1) alla retta di equazione 3x+4y-5=0
Sostituiamo le coordinate del punto all’equazione della retta. Otteniamo:
3x+4y-5=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\3x_{P}+4y_{P}-5=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 3(2)+4(1)-5=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 6+4-5=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 5=0
Sostituendo le coordinate del punto all’equazione, essa non è soddisfatta! Possiamo dunque concludere che il punto P(2,1) non appartiene alla retta 3x+4y-5=0. Verifichiamo quanto ottenuto graficamente:
Esempio 2
Verificare l’appartenenza del punto P(3,2) alla retta di equazione y=2x-4
Sostituiamo le coordinate del punto all’equazione della retta. Otteniamo:
y=2x-4 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ y_{P}=2x_{P}-4 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 2=2(3)-4 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 2=6-4\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 2=2
L’equazione è soddisfatta. Possiamo dunque concludere che il punto appartiene alla retta. Verifichiamo graficamente quanto detto:
Esempio 3
Verificare l’appartenenza del punto P(3,2) alla retta di equazione y=3
In questo caso la sostituzione sarebbe banale ma non la facciamo. E’ evidente che il punto non appartiene alla retta in quanto la sua ordinata non è 3.
Esempio 4
Verificare l’appartenenza del punto P(3,2) alla retta y=x
Anche in questo caso possiamo affermare che il punto non appartiene alla retta y=x in quanto ordinata ed intercetta non sono uguali.
