Vediamo in questo breve appunto in che modo è possibile verificare l’appartenenza di un punto ad una retta nel piano cartesiano. In particolare vedremo:

Condizione necessaria di appartenenza di un punto ad una retta

Al fine di poter verificare l’appartenenza di un punto ad una retta è necessario che le sue coordinate siano una soluzione dell’equazione della retta. Sia che questa sia in forma esplicita o implicita, sostituendo alle generiche variabili x e y dell’equazione il valore delle coordinate del punto di interesse, l’equivalenza deve essere verificata. Consideriamo quindi un punto A di coordinate xA yA ed una retta di equazione

y=mx+q

Il punto P appartiene alla retta se si verifica dunque la seguente uguaglianza

yA = mxA+q

Nella’immagine sotto, il punto A non appartiene alla retta y=mx+q e quindi non soddisferà l’equazione della retta.

appartenenza di un punto ad una retta

In alcuni casi, l’equazione della retta ci fornisce sufficienti informazioni per comprendere in un colpo d’occhio se un punto appartiene o no ad una retta. Ne vediamo alcuni:

  • Caso 1 y=mx o ax+by=0

Con equazioni di questo tipo non è necessario ad esempio verificare l’appartenenza dell’origine O80,0) del piano cartesiano a queste rette.

  • Caso 2 x=k 

In questo caso qualsiasi punto che abbia ascissa pari a k appartiene alla retta e qualsiasi punto con ascissa diversa non ci appartiene.

  • Caso 3 y=q

Similmente al caso precedente, tutti i punti con ordinata q fanno parte della retta, mentre tutti i punti con ordinata diversa da q non ne fanno parte.

  • Caso 4 y=x

A questa retta fanno parte tutti i punti con ascissa = ordinata.

  • Caso 5 y=-x

A questa retta fanno parte tutti i punti con ascissa e ordinata opposte in segno.

Vediamo nel prossimo paragrafo alcuni esempi specifici in cui verifichiamo l’appartenenza di un punto ad una retta.

Esempi

Esempio 1

Verificare l’appartenenza del punto P(2,1) alla retta di equazione 3x+4y-5=0

Sostituiamo le coordinate del punto all’equazione della retta. Otteniamo:

3(2) + 4(1)-5= 0

6+4-5=0

5=0

L’equazione non è soddisfatta! Il punto non appartiene alla retta

Esempio 2

Verificare l’appartenenza del punto P(3,2) alla retta di equazione y=2x-4

Sostituiamo le coordinate del punto all’equazione della retta. Otteniamo:

2=2*3-4

2=6-4

2=2

L’equazione è soddisfatta. Il punto appartiene alla retta

Esempio 3

Verificare l’appartenenza del punto P(3,2) alla retta di equazione y=3

In questo caso la sostituzione sarebbe banale ma non la facciamo. E’ evidente che il punto non appartiene alla retta in quanto la sua ordinata non è 3

Esempio 4

Verificare l’appartenenza del punto P(3,2) alla retta y=x

Anche in questo caso possiamo affermare che il punto non appartiene alla retta y=x in quanto ordinata ed intercetta non sono uguali.

Verificare l’appartenenza di un punto ad una retta
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