Verificare l’appartenenza di un punto ad una parabola

In questo breve appunto vediamo come si verifica l’appartenenza di un punto ad una parabola e qualche semplice esempio. Per comprendere meglio quanto riporteremo in questo appunto ti invitiamo a rivedere il concetto di equazione di una parabola. In particolare vedremo:

• Definizione di punti interni, esterni ed appartenenti ad una parabola
• Come verificare l’appartenenza di un punto ad una parabola
• Esempi

Definizione di punti interni, esterni ed appartenenti ad una parabola

Un punto del piano cartesiano può avere tre posizioni rispetto ad una parabola:

• Interno, se appartiene all’area del piano cartesiano delimitata dalla parabola stessa
• Esterno, se il punto non appartiene all’area del piano cartesiano delimitata dalla parabola e non appartiene alla parabola stessa
• Appartenente alla parabola

Nel prossimo paragrafo vedremo qual è la condizione che si deve verificare al fine di poter definire se un punto appartiene ad una parabola oppure no. Esistono anche delle condizioni per determinare se un punto è interno o esterno alla parabola. Tali condizioni cambiano però se la parabola ha concavità verso l’alto o verso il basso o se orizzontale se la concavità è verso sinistra o verso destra.

Come verificare l’appartenenza di un punto ad una parabola

Per poter verificare l’appartenenza di un punto alla parabola basta sostituire alle variabili x e y l’ascissa e l’ordinata del punto. Se si verifica una identità, allora il punto appartiene alla parabola. Facciamo un esempio. Consideriamo la parabola y=3x²-2x+1 e ci chiediamo se il punto A(1,2) è appartenente alla parabola. Sostituiamo alle variabili x e y dell’equazione della parabola le coordinate del punto A:

si ottiene dunque l’identità 2=2. Il punto appartiene alla parabola e le sue coordinate sono una delle infinite soluzioni dell’equazione di una parabola. Consideriamo adesso la stessa parabola e verifichiamo il punto (-1,1). Otteniamo

che non è una identità ed il punto dunque non appartiene alla parabola. Esso sarà interno od esterno? Come abbiamo detto in precedenza non esistono regole univoche. Possiamo però dire che:

• Se la parabola ha concavità verso l’alto, coefficiente a>0, (o verso destra se trattasi di parabola orizzontale), il punto è interno alla parabola se si ottiene una disuguaglianza in cui il primo membro è maggiore del secondo. Condizione necessaria è che durante i calcoli non si operi un cambio di segno moltiplicando entrambi i membri per meno 1. In questo caso infatti, ogni punto interno alla parabola ha un valore dell’ordinata (o l’ascissa nel caso di parabole orizzontali) maggiore di quello del punto appartenente alla parabola e con medesimo valore di ascissa

• Quando la concavità è rivolta verso il basso, coefficiente a<0, (o verso sinistra se si ha a che fare con una parabola orizzontale), il punto è interno alla parabola se si ottiene una disuguaglianza in cui il primo membro è minore del secondo. Condizione necessaria è che durante i calcoli non si operi un cambio di segno.

Esempi

Esempio 1

Verificare se il punto A(3,1) appartiene alla parabola x=-y²+2y

Andiamo a sostituire le coordinate del punto alle variabili dell’equazione:

non abbiamo ottenuto una identità. Il punto non appartiene alla parabola. Poiché la parabola ha concavità verso sinistra ed il primo membro della disuguaglianza è maggiore del secondo, avremo che il punto A è esterno alla parabola! Si noti che per affermarlo non è mai stato cambiato il segno durante i calcoli. Un cambio di segno ci avrebbe portato ad una affermazione errata.

Esempio 2

Verificare che il punto A(2,2) appartenga alla parabola y=x_²+1

Facciamo dunque la sostituzione e otteniamo

2=5

Il punto non appartiene alla parabola. Poiché il primo membro è minore del secondo la parabola ha concavità verso l’alto, allora possiamo concludere che il punto è esterno alla parabola.  Si noti che per affermarlo non è mai stato cambiato il segno durante i calcoli. Un cambio di segno ci avrebbe portato ad una affermazione errata.

Esempio 3

Verificare che il punto A(3,1) appartiene alla parabola y=-x²+2x+4

Sostituiamo le coordinate del punto all’equazione della parabola:

abbiamo ottenuto un’identità. Il punto appartiene alla parabola!