In questo breve appunto diamo una definizione alla grandezza velocità istantanea. Per comprendere a pieno il contenuto di questo appunto consigliamo di approfondire i concetti di spostamento, velocità media e velocità scalare media che troverai al seguente link. In questo appunto vedremo in particolare:

Se hai bisogno di approfondire ulteriori argomenti di cinematica e fisica I ti rimandiamo al relativo indice degli argomenti.

Breve accenno al concetto di velocità media

La velocità media è una grandezza vettoriale che definisce il rapporto tra lo spostamento e l’intervallo di tempo in cui tale spostamento è avvenuto. Consideriamo dunque un punto che in un determinato intervallo di tempo, che indicheremo con Δt, si sposta dalla posizione P0 alla posizione P1:

velocità media

il vettore velocità media è indipendente dal tipo di traiettoria scelta per eseguire il percorso nell’intervallo di tempo indicato. Le sue caratteristiche vettoriali dipendono esclusivamente da quelle del vettore spostamento che ricordiamo essere il vettore risultante la differenza vettoriale tra la posizione finale e la posizione iniziale:

\overrightarrow{\overline{v}} = \frac{\overrightarrow{\Delta r}}{\Delta t} =\frac{\overrightarrow{r(t_{1})}-\overrightarrow{r(t_{0})}}{t_{1}-t_{0}}

si noti che essendo la velocità media il rapporto tra una grandezza vettoriale (lo spostamento) ed una grandezza scalare (l’intervallo di tempo), è essa stessa una grandezza vettoriale la cui dimensione è L/T e la cui unità di misura può essere espressa in diverse forme, le cui più comuni sono metri al secondo o chilometri orari. Essendo dunque una grandezza vettoriale, la velocità è definita se è definita il suo modulo, la sua direzione ed il suo verso. Se consideriamo adesso le componenti dello spostamento lungo i tre assi:

\Delta r = \Delta x \widehat{i}+\Delta y \widehat{j}+\Delta z \widehat{k}

con i, j e k che rappresentano i versori degli assi cartesiani. La velocità media allora può essere scomposta nelle sue componenti cartesiane:

\overrightarrow{\overline{v}} =\frac{\Delta x}{\Delta t}\widehat{i}+\frac{\Delta y}{\Delta t}\widehat{j}+\frac{\Delta z}{\Delta t}\widehat{k}  = \overline{v_{x}}\widehat{i}+\overline{v_{y}}\widehat{j}+\overline{v_{z}}\widehat{k}

La velocità media così come definita si scontra con quello che l’uso del termine nel linguaggio comune. Infatti, così definita, la velocità media di una vettura che compie il giro completo di un gran premio percorrendo 4 km in 1 minuto e 13 secondi partendo e arrivando alla linea del traguardo è zero! Infatti poiché la vettura ha concluso il suo spostamento nella stessa posizione in cui è partita, allora il suo spostamento è stato nullo e così la sua velocità media! Il corrispondente fisico di ciò che intendiamo è la velocità scalare media intesa come il rapporto tra la distanza percorsa e l’intervallo di tempo trascorso per percorrerla!

Terminiamo il seguente paragrafo con un ultimo aspetto della velocità media. Per semplicità di esposizione, riferiamoci al caso semplice di un moto unidirezionale (moto che non si sviluppa nell’intero spazio ma solo lungo una direzione). Riportiamo in un grafico la posizione dell’oggetto in movimento ad ogni istante di tempo:

velocità media: pendenza

Immaginiamo di essere interessati a definire le caratteristiche del moto dal punto A al punto B e dal punto B al punto C.

Per ciascun tratto lo spostamento è la variazione della posizione. Dunque, per il tratto A-B questo sarà:

\Delta x = x_{f} -  x_{i} = 6-8 =-2m

invece per il tratto BC invece sarà:

\Delta x = x_{f} -  x_{i} = 10-6 =4m

L’intervallo di tempo sarà invece dato dall’istante in cui l’oggetto si trova nel punto finale meno l’istante in cui l’oggetto si trova nell’istante iniziale. Dunque avremo:

\Delta t_{AB} = t_{B}-t_{A} = 4-2 = 2s \\\,\\ \Delta t_{BC}= t_{C}-t_{B} = 11-4 = 7s

Ma a cosa corrisponde la velocità media? Graficamente la velocità media è la pendenza o coefficiente angolare del tratto che unisce nel grafico il punto iniziale con il punto finale. Ricordiamo che la pendenza si misura come la tangente dell’angolo che il tratto forma con l’asse orizzontale ed è tale da essere positiva per angoli compresi tra 0 e 90° in senso antiorario e negativa per angoli compresi tra 0° e 90° in senso orario.

Dunque, poiché il tratto rosso AB forma un angolo negativo con l’asse orizzontale, ci aspettiamo una velocità media negativa. Ed infatti:

\overline{v_{x}} = \frac{\Delta x }{\Delta t }= \frac{-2 }{2} =-1m/s

mentre per il tratto BC, avremo:

\overline{v_{x}}= \frac{\Delta x }{\Delta t }= \frac{4 }{7} =0,57m/s

che è una velocità positiva, come ci aspettavamo osservando la pendenza del tratto BC.

Vettore velocità istantanea

La velocità media spesso non è un’informazione esaltante per studiare le caratteristiche di un moto. Dipendendo esclusivamente dalla posizione finale e iniziale non ci fornisce le informazioni su tutti gli stadi intermedi del moto. Per definire infatti la legge oraria del moto di un corpo è indispensabile riuscire ad ottenere le leggi matematiche che identificano le caratteristiche di quel moto in ogni istante di tempo. Dunque risulta necessario definire un’altra velocità che ci fornisce informazioni più dettagliate di ciò che accade in tempi infinitesimali. Tale velocità è detta velocità istantanea ed è definita come:

\overrightarrow{v} =\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\overrightarrow{\Delta r}}{\Delta t}

Dunque la velocità istantanea è ancora una grandezza vettoriale con le stesse caratteristiche vettoriali di direzione e verso del vettore spostamento ma a differenza della velocità media si concentra su un intervallo di tempo estremamente piccolo da risultare infinitesimale:

velocità istantanea come limite di velocità media

Cosa succede dunque quando facciamo le nostre osservazioni in un tempo t1 molto prossimo a t0? Senza dubbio possiamo dire che quanto più prendiamo il vettore posizione P1 vicino al vettore posizione P0, tanto più il vettore spostamento Δr, e di conseguenza il vettore velocità, approssima la traiettoria nel punto P0. Possiamo dunque dire che nel limite di Δt che tende a zero, il vettore spostamento e velocità istantanea sono tangenti alla traiettoria (pur non rappresentando una derivata)! Il limite di cui sopra può essere dunque scomposto lungo i tre assi di riferimento:

v_{x} =\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}\\\,\\v_{y} =\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta t}\\\,\\v_{z} =\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta z}{\Delta t}\\\,\\

 

da cui:

\overrightarrow{v} = v_{x} \widehat{i} +v_{y} \widehat{j} +v_{z} \widehat{k} 
Velocità istantanea come derivata prima del vettore posizione nel tempo

Consideriamo nuovamente il grafico della posizione di un oggetto nel tempo rispetto ad un riferimento e per semplicità considereremo nuovamente il caso di un moto unidirezionale. Anche in questo caso consideriamo lo spostamento da un punto A ad un punto B molto vicini tra loro. Quando abbiamo parlato di velocità media abbiamo detto che essa è rappresentata dalla tangente della pendenza del tratto che unisce i due punti. Lo stesso accade per la velocità istantanea:

velocità istantanea come derivata della posizione nel tempo

Il tratto AB può essere considerato l’ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono Δx e Δt. Dai teoremi dei triangoli rettangoli potremmo infatti scrivere:

|v| = \frac{|\Delta x|}{\Delta t}= tg\alpha

riscriviamo adesso il limite che definisce la velocità istantanea:

v_{x} =\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x(t+h)-x(t)}{h} 

il secondo limite rappresenta la generica definizione di della derivata di una funzione continua. Possiamo dunque scrivere:

v_{x}=\frac{dx}{dt} = \dot{x}

Vettorialmente riscriviamo:

v_{x} \widehat{i} = \frac{dx}{dt} \widehat{i}= \dot{x}\widehat{i}

dunque la velocità istantanea altro non è che la derivata rispetto al tempo della funzione posizione.

Esempio di esercizio

Sia dato un punto materiale che si muove nel tempo. La sua coordinata espressa in metri rispetto all’asse delle ascisse varia nel tempo secondo la legge oraria:

x= 3t-5t^{2}

calcolare la velocità istantanea lungo x al tempo t=3s. Sapendo inoltre che il corpo si muove lungo gli altri assi secondo le seguenti leggi orarie:

y= 3t \\\,\\ z=5

calcolare il vettore velocità istantanea totale al tempo t=3s e il suo modulo.

Risolviamo l’esercizio partendo dal primo punto, ovvero il calcolo della componente della velocità istantanea lungo l’asse delle x. Abbiamo detto che la velocità istantanea non è altro che la derivata della posizione del corpo nel tempo. Possiamo dunque ricavare la legge della velocità istantanea come derivata prima rispetto al tempo della legge oraria:

v_{x} = \frac{dx}{dt} = \frac{d(3t-5t^{2}}{dt}= 3-10t

adesso possiamo calcolare il valore della velocità istantanea nell’istante t=3s:

v_{x} =3-10t = 3-10(3) = -27\frac{m}{s}

abbiamo ottenuto una velocità negativa il che significa che il corpo si sta muovendo nella direzione opposta al senso positivo dell’asse delle ascisse. Eseguiamo adesso il calcolo per le altre due coordinate:

v_{y} =\frac{dy}{dt} =\frac{d(3t)}{dt} =3m/s \\\,\\ v_{z} =\frac{dz}{dt} =\frac{d(5)}{dt} =0m/s 

Dunque il corpo si muove con velocità costante lungo l’asse delle y. La sua coordinata y si muove con velocità nulla, dunque non cambia mai la sua posizione z=5m. Il vettore totale velocità istantanea al tempo t=3s sarà dunque dato da:

\overrightarrow{v} =\overrightarrow{v_{x}}+\overrightarrow{v_{y}} = -27i+3j

ed il suo modulo sarà:

|\overrightarrow{v} | = \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}} =\sqrt{(-27)^{2}+(3)^{2}+(0)^{2}} = \sqrt{729+9} =\sqrt{738} =27,16\frac{m}{s}
Velocità istantanea