In questo appunto vediamo in che modo i teoremi sui triangoli rettangoli utilizzano le funzioni goniometriche per la risoluzione di alcuni problemi. Per rivedere le proprietà delle funzioni goniometriche ti rimandiamo ai seguenti appunti:
Le funzioni goniometriche possono essere utilizzate anche per la risoluzione dei triangoli generici. I teoremi dei triangoli altro non sono che una generalizzazione dei teoremi dei triangoli rettangoli e saranno trattati in un altro appunto. Da qui in poi si utilizzerà la seguente nomenclatura per indicare le varie componenti di un triangolo rettangolo:
- AB o c = ipotenusa
- BC o a, AC o b = cateti
- α= angolo opposto al cateto a o BC
- β= angolo opposto al cateto b o AC
- γ = angolo retto
Riportando in figura tale nomenclatura si ottiene:
Teorema 1 dei triangoli rettangoli
Il primo teorema sui triangoli rettangoli afferma che:
In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto é uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto ad esso o per il coseno dell’angolo ad esso adiacente.
Nei paragrafi successivi vediamo come si dimostra tale teorema utilizzando la circonferenza goniometrica come punto di partenza. A questi seguirà il secondo teorema sui triangoli rettangoli.
Teoremi sui triangoli rettangoli: Calcolare un cateto conoscendo il valore dell’ipotenusa e dell’angolo fra essi compreso
Vediamo in questo paragrafo in che modo è possibile calcolare il valore di un cateto conoscendo l’ipotenusa ed uno dei due angoli diversi. Considerando l’immagine del paragrafo precedente si immagini di voler calcolare il valore del cateto BC conoscendo l’ipotenusa AB e uno dei due angoli non retti (α o β).Ricordiamo che se uno dei due angoli è conosciuto, l’altro angolo sarà complementare a questo. Ovvero tra α e β vale la relazione:
α+ β = π/2 = 90°
Vediamo in che modo è possibile calcolare il cateto BC conoscendo AB e l’angolo α. Si consideri una circonferenza goniometrica con raggio vettore unitario OP e che sottende con l’asse orizzontale un angolo proprio pari a α:
Per definizione la lunghezza del segmento OH è proprio il coseno dell’angolo α (cos α) essendo tale segmento la proiezione del raggio vettore unitario sull’asse delle ascisse. Costruiamo adesso sulla circonferenza goniometrica il triangolo ABC:
I due triangoli rettangoli OPH e ABC sono dei triangoli rettangoli aventi angoli acuti α β, Da uno dei criteri di similitudine poiché tali triangoli hanno tutti e tre gli angoli uguali, essi sono simili tra di loro. Ciò vuol dire che le lunghezze dei lati sono in proporzione tra loro e che è possibile ricavare le seguenti proporzioni:
AB:OP = BC:PH=AC:OH
O che le proporzioni tra lati corrispettivi siano uguali:
OP:OH=AB:AC
Sappiamo però che OH per definizione è il coseno dell’angolo α e che OP è un raggio vettore di valore 1. Ne consegue che:
1/cos α = AB/BC
Riorganizzando i termini:
AC=AB*cos α
Da cui si ricava che: In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è dato dal prodotto della misura dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo compreso tra ipotenusa e cateto.
Regola inversa: Calcolare l’ipotenusa conoscendo un cateto e l’angolo adiacente al cateto
Utilizzando una formula inversa a quella vista nel paragrafo precedente è possibile ricavare il valore dell’ipotenusa da quello del cateto e del suo angolo adiacente. Infatti, se:
AC = AB*cos α
Ne consegue che
AB=AC/cosα
Per cui, in un triangolo rettangolo la misura dell’ipotenusa è data dal rapporto della misura di un cateto ed il coseno dell’angolo compreso tra il cateto stesso e l’ipotenusa.
Teoremi sui triangoli rettangoli: Calcolare un cateto conoscendo il valore dell’ipotenusa e dell’angolo opposto al cateto
Anche in questo caso sarebbe possibile eseguire la dimostrazione di questa parte del teorema utilizzando la circonferenza goniometrica. Infatti il cateto PH è congruente con la proiezione del raggio vettore unitario con l’asse verticale e quindi con il seno di α. Un altro modo suggerisce invece di sfruttare le proprietà delle funzioni seno e coseno. Sapendo che α e β sono complementari (la loro somma è un angolo retto), possiamo scrivere:
cos α = cos (π/2 – β) = sin β
Ne consegue che: In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è dato dal prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto. O inversamente: in un triangolo rettangolo, la misura dell’ipotenusa è data dal rapporto di un cateto e del seno dell’angolo opposto al cateto
Teorema 2 dei triangoli rettangoli
Il secondo teorema sui triangoli rettangoli afferma che:
In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al primo cateto o per la cotangente dell’angolo adiacente al primo cateto.
Teoremi sui triangoli rettangoli: Calcolare un cateto conoscendo il valore dell’altro cateto e un angolo
E’ possibile anche calcolare direttamente un cateto conoscendo il valore dell’altro cateto ed uno dei due angoli. Supponiamo di conoscere il cateto BC e l’angolo β e di voler calcolare il cateto AC. Abbiamo visto nei paragrafi relativi al primo teorema che valgono le seguenti relazioni:
AC=AB sinβ
BC=AB cosβ
Dal rapporto di queste due espressioni si ottiene:
AC/BC=AB/AB * sinβ/ cosβ = tan β
Da cui vale:
AC=BC*tan β
Da cui vale la regola generale che in un triangolo rettangolo il valore di un cateto è dato dal prodotto del valore dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto.
Eseguendo il rapporto inverso si ottiene invece:
BC/AC=AB/AB * cosβ / sinβ = cotan β
Da cui vale la regola generale che in un triangolo rettangolo il valore di un cateto è dato dal prodotto del valore dell’altro cateto per la cotangente dell’angolo adiacente.
Abbiamo in questo modo dimostrato quanto affermato dal secondo dei teoremi sui triangoli rettangoli.
Valore degli angoli
Nella risoluzione dei triangoli rettangoli può essere necessario calcolare il valore di un angolo. In questo ci aiutano le funzioni inverse delle funzioni goniometriche: arcosin, arcocosin, arcotan, e arcocotan.
Vediamo un esempio partendo dalla relazione:
AC=BCtanβ
Da cui:
tan β = AC/BC
sappiamo quindi che la tangente di beta è data dal rapporto dei due cateti AC e BC ma quanto è β? La funzione arcotangente ci dice proprio quale angolo restituisce un determinato valore di tangente:
β=arcotan AC/BC
Da cui si può ricavare la regola generale: in un triangolo rettangolo il valore di un angolo acuto è uguale alla arcotangente del rapporto tra il cateto opposto ed il cateto adiacente. Una regola di questo tipo è difficile da ricordare. Se ne può ricavare una per ogni relazione vista nei paragrafi precedenti. Il consiglio è di non imparare tali regole a memoria ma di imparare a ricavarle dalle regole generali. A voi l’esercizio.
