Tangente e cotangente sono due funzioni trigonometriche basilari. Come fatto già per le funzioni seno e coseno definiamo queste due funzioni prima graficamente e poi mostrandone l’andamento e alcune proprietà particolari.

La funzione tangente

Introduciamo la funzione tangente partendo dalla sua visualizzazione grafica sulla circonferenza goniometrica:

tangente e cotangente

Graficamente, la tangente di un angolo α è la lunghezza del segmento DE. Tale segmento si estende dal punto D(1,0) fino al punto dell’intersezione della retta tangente con il prolungamento del raggio vettore posizionato ad un angolo α rispetto alle ascisse.
Si considerino i due triangoli rettangoli ABC e ADE. Questi due triangoli sono simili in quanto hanno entrambi un angolo retto ed hanno un angolo in comune. Di conseguenza anche il terzo angolo sarà uguale per i due triangoli. Data la similitudine, vale la proporzione:

AB : AD=BC: BE

ma:

AB=cos(α) AD=1 BC=sin(α) BE=tg α

per cui:

cosα:1=sinα:tgα
tg α= sinα/ cosα

quindi è è possibile ricavare la tangente di un angolo una volta conosciuti il suo seno e coseno. A questo punto è semplice fornire una indicazione del valore della tangente per gli angoli di cui conosciamo seno e coseno.
Il segno della tangente di un angolo è facilmente intuibile da un punto di vista grafico. Se il prolungamento del raggio vettore cade nella semiretta positiva (indicata con un segno + in figura) allora la tangente sarà positiva, se invece cade nella semiretta negativa, allora la tangente sarà negativa.

Valore della tangente per α =45°

Partiamo dai valori di seno e coseno di α=45°. Sappiamo che:

sin α=√2/ 2
cos α=√2/2

Essendo seno e coseno uguali ne scaturisce che:

tg α= sin α/ cosα =1

Il valore della tangente poteva essere ottenuto tramite considerazioni geometriche molto semplici. Se l’angolo è di 45° allora il triangolo ADE è metà di un quadrato e che quindi AD = DE. Poiché la circonferenza goniometrica ha raggio unitario, allora AD=DE=1.
Rifacendo i calcoli allo stesso modo, otterremo che:

tg(135°) = -1
tg(225°) = 1
tg(315°) = -1

si prenda familiarità con il fatto di considerare 135° come 90°+45, 225°=180+45° e 315° = 270°+45°.

Valore della tangente per α =30°

Riportiamo il valore della tangente di un angolo di 30° calcolando il rapporto del suo seno con il suo coseno:

angoli particolari
Valore della tangente per α =60°

Allo stesso modo di quanto fatto nel paragrafo precedente, per un angolo di 60° di ha:

angoli particolari

I valori della tangente per angoli pari a 120°, 150°, 210°, 240°, 300° e 330°sono riconducibili a quelli sopra riportati.

Valore della tangente per α= 0°, 90°, 180°, 270°

0°: il valore del seno è 0 mentre quello del coseno è 1. Ne consegue che la tangente è nulla. (Nel grafico sopra riportato i punti D ed E a 0° coinciderebbero)
90°: il valore del seno è 1 e quello del coseno è 0. Ma poiché non è possibile dividere un numero per zero allora la tangente non assume un valore in tale punto. Graficamente accade che a 90° il raggio vettore è parallelo alla retta tangente la circonferenza goniometrica nel punto D, per cui il suo prolungamento non incrocerà mai tale retta. Il punto E non si verrà mai a formare. Si noti che quando un angolo è poco più piccolo di 90° il valore della tangente è molto alto. Questo accade perché la semiretta ed il prolungamento si incrociano in un punto molto distante da D:

tangente e cotangente

Per avere un’idea, quando l’angolo è pari a 89.999 la tangente è uguale a 57295,78!!
Si dice allora che per un angolo molto vicino a 90° la tangente tende a infinito. Il segno dell’infinito dipende se l’angolo è poco più grande (-infinito) o poco più piccolo (+ infinito) di 90!!

180° e 270° sono riconducibili ai primi due casi.

Grafico della funzione tangente

Come nel caso del seno e del coseno anche per la tangente la funzione si ripete periodicamente. Questa volta però il periodo è ogni 180°. Questo significa che la tangente di un angolo α è la stessa dell’angolo 180°+α. La
funzione tangente può assumere qualsiasi valore, negativo o positivo. La funzione non è continua ma si interrompe per determinati valori di angoli. Si tratta degli angoli 90°, 270°, 450° etc.. per i quali il raggio vettore rimane parallelo alla retta tangente alla circonferenza goniometrica.

funzione tangente

La funzione Cotangente

Per la funzione cotangente si spenderà meno tempo in quanto si possono fare delle considerazioni molto simili a quelle già fatte per la funzione tangente. Per prima cosa è importante visualizzare tale funzione dal punto di vista grafico.

tangente e cotangente

Effettuando una dimostrazione simile a quella fatta per la funzione tangente (attraverso la similitudine dei due triangoli rettangoli ACB e ADE) si ottiene la seguente relazione per la cotangente:

cotg α=cosα/ sinα = 1/ tg α


quindi la cotangente è l’inversa della tangente. Questo ci permette di evitare il calcolo della cotangente per gli angoli particolari come fatto per le altre funzioni goniometriche. Occorre però affrontare il caso in cui la tangente assume valore 0 o valore impossibile. Nel primo caso accade che la cotangente sarebbe data dal rapporto 1/0 che è impossibile. Si tratta infatti dei casi in cui il raggio vettore è parallelo alla retta sulla quale definiamo il segmento cotangente. Si tratta degli angoli 0° e 180°. Cosa accade invece quando la tangente di un angolo assume valore impossibile?
In questo caso non si può rispondere a questa domanda calcolando l’inverso del valore della tangente. Si ricordi che la tangente assume tali valori quando gli angoli sono 90° e 270°. Graficamente si osserva che la cotangente vale 0 per questi due angoli.

Grafico della funzione cotangente

Di seguito si riporta il grafico della funzione cotangente ottenuta calcolando alcuni valori di angoli compresi nei primi due giri (per giro si intende una rotazione di 360°) del raggio vettore nella circonferenza goniometrica. Anche in questo caso come per la funzione tangente, la funzione è periodica e si ripete ogni 180°. Per cui la cotα = cot(180+α)

funzione cotangente

Si riporta sotto un grafico con entrambe le funzioni:

funzioni tangente e cotangente

Le linee arancioni sono degli assi di simmetria. Rispetto ad essi infatti le due funzioni sono simmetriche (come se si guardassero allo specchio). Per il primo giro, tali assi si hanno per valori pari a 45°, 135°, 225°,, 315°, valori per i quali le due funzioni assumono lo stesso valore: 1. E’ proprio per tali valori che le due funzioni si intersecano. Questa simmetria delle due funzioni sfocia nelle seguenti relazioni:

angoli noti

Le stesse relazioni valgono anche per le funzioni seno e coseno in quanto anche queste si intersecano per tali valori di angoli.

Goniometria: tangente e cotangente
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