In questo appunto vedremo la definizione di triangolo isoscele, quali sono le sue principali proprietà e le sue formule principali. Abbiamo definito il questo tipo di triangolo quando abbiamo visto in che modo si classificano i triangoli (vedi il seguente link). I paragrafi di questo appunto sono così strutturati:

Se invece sei interessato ad altri argomenti relativi alla geometria piana, ti rimandiamo al seguente link. Per gli esempi di esercizi sul calcolo dell’area e del perimetro, ti rimandiamo ai prossimi appunti:

Definizione

Un triangolo isoscele è un triangolo caratterizzato dall’avere due lati e due angoli congruenti. La rappresentazione più comune di un triangolo isoscele vede il lato diverso essere rappresentato come base del triangolo, mentre i due lati uguali sono rappresentati come lati obliqui del triangolo:

triangolo isoscele

nella figura sono rappresentati attraversati da due lineette i due lati obliqui congruenti tra di loro. Anche i due angoli congruenti tra loro, che in questa rappresentazione risultano essere angoli alla base, sono stati segnalati con degli archetti. Ricordiamo che una particolare tipologia di triangolo isoscele è il triangolo equilatero. Quest’ultimo infatti altro non è che un triangolo isoscele con il terzo lato uguale agli altri due e con gli angoli tutti uguali tra loro (angoli di 60 gradi).

Vediamo nel prossimo paragrafo l’elenco delle principali proprietà di un triangolo isoscele

Proprietà geometriche

Un triangolo isoscele ha le seguenti proprietà:

  • Due dei suoi lati sono congruenti tra di loro. Nella rappresentazione vista nel paragrafo precedente, essi sono i lati obliqui del triangolo (l).
  • Due dei suoi angoli sono congruenti tra loro (α). Nella rappresentazione in cui il lato diverso è la base del triangolo (b), tali angoli sono detti angoli alla base
  • L’altezza (h) relativa al lato diverso è anche asse di simmetria di tale lato, mediana e bisettrice dell’angolo diverso (angolo al vertice β). Essa divide il triangolo in due parti uguali. Tali parti risultano essere due triangoli rettangoli.
  • Le altezze relative ai lati obliqui sono uguali tra loro
  • Un triangolo equilatero è un caso particolare di triangolo isoscele in cui anche il terzo lato è uguale agli altri due
  • Un triangolo isoscele può avere il terzo angolo:
    • retto e risultate anche triangolo rettangolo. In questo caso, i due angoli uguali devono essere forzatamente di 45°
    • ottuso e risultare triangolo ottusangolo
    • acuto e risultare triangolo acutangolo
elementi di un triangolo isoscele
Formule 

Vediamo di seguito quali sono le formule più comuni di un triangolo isoscele. Nel seguito indicheremo come:

  • P: perimetro
  • A: Area
  • l: lati congruenti
  • b: lato diverso
  • h: altezza rispetto al lato diverso
  • h1: altezza rispetto ad uno qualsiasi dei lati congruenti
  • α: ampiezza di uno dei due angoli congruenti
  • β: ampiezza dell’angolo diverso

Ricordiamo ancora una volta che la rappresentazione più comune prevede come base il lato diverso. Possiamo però rappresentare il triangolo ponendo come base uno dei lati congruenti. Vediamo come cambia la rappresentazione per uno stesso triangolo isoscele:

Perimetro 

Il perimetro di un triangolo isoscele è la somma della lunghezza dei suoi lati. Poiché in questo tipo di triangolo due dei lati sono congruenti, il perimetro è dato da:

 

P = 2l +b

 

le formule inverse per ricavare dal perimetro o la lunghezza del lato obliquo o la lunghezza della base sono:

 

l = \frac{P-b}{2} \\\,\\ b= P-2l
 
Area 

L’area di un triangolo isoscele è data dal prodotto di una qualsiasi base per la rispettiva altezza. Se rappresentiamo la base con il lato diverso, allora possiamo scrivere:

 

A= \frac{b*h}{2}

 

da cui possiamo ricavare le formule inverse:


b=\frac{2A}{h} \\\,\\ h=\frac{2A}{b}

 

se invece la base è uno dei lati congruenti allora, indicando con h1 la sua rispettiva altezza abbiamo:


A= \frac{h_{1}l}{2}

 

da cui ricaviamo le formule inverse:


l= \frac{2A}{h_{1}} \\\,\\ h_{1}= \frac{2A}{l}
 
Relazioni tra base b, altezza h e lato l

Abbiamo detto che una delle proprietà del triangolo isoscele sta nel fatto che l’altezza rispetto al lato diverso, divide il triangolo in due triangoli rettangoli. Possiamo dunque sfruttare il teorema di Pitagora per mettere in relazione questi tre elementi.

Ricordiamo che l’altezza rispetto al lato diverso è anche mediana dello stesso, dividendolo perciò in due parti uguali. Ne consegue che ciascuno dei due triangoli rettangoli è caratterizzato da:

  • un’ipotenusa l
  • Due cateti h e b/2.

Applicando il teorema di Pitagora a tale triangolo rettangolo otteniamo:


l^{2} = h^{2} +\left(\frac{b}{2}\right)^{2} \\\,\\ l= \sqrt{ h^{2} +\left(\frac{b}{2}\right)^{2} }

 

ne conseguono le relative formule inverse:


h=\sqrt{l^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}} \\\,\\ b= 2\sqrt{l^{2}-h^{2}}

 

Vediamo nella seguente figura alcune delle possibili formule che mettono in relazione i vari elementi:

 

 
Richiami di goniometria

Nel paragrafo precedente abbiamo riportato le possibili relazioni tra i vari elementi di un triangolo isoscele senza coinvolgere gli angoli. In questo paragrafo riporteremo alcune nozioni di goniometria. Partiamo dalle relazioni tra gli angoli. Indicando con α l’ampiezza dei due angoli uguali e con β l’ampiezza dell’angolo diverso, possiamo scrivere la relazione che impone che la somma degli angoli interni in un triangolo sia un angolo piatto:


2\alpha +\beta = 180°

 

da cui possiamo ricavare le formule inverse:


\beta = 180°-2\alpha \\\,\\ \alpha = \frac{180°-\beta}{2}

 

Adesso, poiché l’altezza h rispetto al lato diverso b è anche asse di simmetria e mediana, possiamo applicare ai due triangoli rettangoli in cui si divide il triangolo isoscele i teoremi dei triangoli rettangoli. Senza entrare troppo nel dettaglio, tali teoremi ci portano alle seguenti formule:


b= 2lcos \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\\,\\ b=2l sin\frac{\beta}{2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ h= lcos\frac{\beta}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\\,\\ h=lsin\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ P =2l+b = 2l+2lcos\alpha = 2l(1+cos\alpha) \\\,\\ A=\frac{bh}{2} = \frac{2lcos \alpha lsin\alpha}{2} = l^{2}cos \alpha sin \alpha\,\,\,\,\,\,\,

 

Triangolo isoscele definizione e formule
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