In questo appunto daremo una definizione alla parola triangolo in geometria e vedremo in che modo è possibile classificare i triangoli. In particolare in questo appunto vedremo:
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Definizione e proprietà del triangolo
Si definisce triangolo:
la porzione di piano delimitata da una linea spezzata chiusa avente tre lati
In quanto tale esso è il poligono più semplice.
Come per qualsiasi altro poligono, la sua rappresentazione prevede di indicare i vertici con una lettera maiuscola ed i suoi lati con gli estremi dei vertici. Dunque i tre lati del triangolo sono genericamente indicati con la notazione:
\overline{AB}; \overline{BC}; \overline{AC}
ed i suoi angoli con la notazione:
A\widehat{B}C; B\widehat{C}A; C\widehat{A}B
Poiché in un triangolo ad ogni vertice corrisponde un lato ad esso opposto, è possibile utilizzare una nomenclatura alternativa che utilizza le lettere minuscole a,b e c per indicar ei lati e le lettere greche α,β e γ per indicare gli angoli. L’ordine con il quale lati e angoli non è casuale. Il lato a deve essere opposto all’angolo indicato con α, il lato b deve essere opposto all’angolo indicato con β, il lato c deve essere opposto all’angolo indicato con γ. La corrispondenza con la precedente nomenclatura è la seguente:
\overline{BC} = a\\\overline{AC} = b \\ \overline{AB} = c \\ C\widehat{A}B= \alpha\\A\widehat{B}C=\beta\\ B\widehat{C}A=\gamma
Proprietà dei triangoli
Vediamo adesso quali sono le proprietà di un triangolo:
- Ha tre lati e tre angoli. A ciascun lato è possibile associare un angolo ad esso opposto
- è un poligono sempre convesso. Ciò significa che qualsiasi segmento congiungente due punti interni al triangolo, esso sarà sempre interno al triangolo
- la somma interna dei suoi angoli è sempre 180°
- Esiste sempre una circonferenza inscrivibile ed una circonferenza circoscrivibile ad esso. Questa è una peculiarità, in quanto queste due circonferenze esistono per qualsiasi triangolo. Per tutti gli altri poligoni, affinché ciò accada é necessario che il poligono sia regolare.
- La somma di due lati è sempre maggiore del terzo lato e la differenza di due lati è sempre minore del terzo lato:
a+b > c\\\,\\ a-b < c
E’ possibile identificare inoltre altre proprietà che possono rendere ancor più peculiari alcuni tipi di triangoli. Nei prossimi paragrafi vedremo in che modo è possibile classificarli in base a specifiche caratteristiche.
Classificazione dei triangoli
Per classificazione dei triangoli si intende raggruppare in categorie specifiche i triangoli a seconda di determinate caratteristiche. Esistono due criteri per classificare i triangoli e questi si basano rispettivamente:
La lunghezza dei suoi lati
L’ampiezza dei suoi angoli interni
Vedremo nei prossimi paragrafi queste due nomenclature e come esse si relazionano tra loro
Nomenclatura dei triangoli basata sulla lunghezza dei lati
Classificare un triangolo in base alla lunghezza dei suoi lati significa verificare in che rapporto sono a due a due le lunghezze dei lati. Potremmo allora identificare tre tipi di triangoli:
- Scaleno: si tratta del caso più generale possibile in cui i 3 lati sono diversi tra loro. Quando ciò accade anche gli angoli interni del triangolo sono diversi tra loro.
- Isoscele: Il triangolo ha due lati in comune. Si può dimostrare, ma qui non lo faremo, che se un triangolo ha due lati della stessa lunghezza, allora esso avrà anche i due angoli interni adiacenti al terzo lato della stessa ampiezza.
- Equilatero: Il triangolo ha tutti e tre i lati in comune. Il triangolo equilatero è un particolare caso di triangolo isoscele dove anche il terzo lato è uguale agli altri due. Questo tipo di triangolo è inoltre caratterizzato dall’avere tutti gli angoli interni di 60°.
Nomenclatura dei triangoli basata sull’ampiezza degli angoli interni
I triangoli possono essere classificati anche in base ad un secondo criterio: l’ampiezza dei suoi angoli interni. In particolare ricordiamo due concetti fondamentali. Il primo riguarda la somma degli angoli interni che per il teorema relativo è sempre pari ad un angolo piatto. Il secondo conetto che vogliamo ricordare è relativo alla classificazione degli angoli. Ricordiamo infatti che un angolo si dice:
- Acuto se la sua ampiezza è compresa tra 0 e 90°
- Retto se la sua ampiezza è pari a 90°
- Ottuso se la sua ampiezza è compresa tra 90° e 180°
Adesso, basandoci sul tipo di angoli interni presenti in un triangolo, possiamo definire la seguente classificazione. Un triangolo può essere:
Acutangolo, se tutti e tre gli angoli interni sono acuti
Rettangolo, se uno degli angoli interni è 90°. Per il teorema della somma degli angoli interni, che è uguale a 180° per tutti i triangoli, se uno degli angoli interni è retto, allora gli altri due di conseguenza devono essere acuti
Ottusangolo, se uno degli angoli interni ha ampiezza tra 90° e 180°. Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, se uno degli angoli interni è ottuso, allora gli altri due saranno acuti.
Come visto dalle definizioni di triangolo rettangolo e ottusangolo, se uno degli angoli è uguale o superiore a 90°, necessariamente gli altri due saranno angoli acuti. Il teorema relativo infatti ci dice che in un qualsiasi triangolo ci sono almeno due angoli acuti.
Relazioni tra le due nomenclature
Qualsiasi tipo di triangolo può essere dunque classificato sia in base alla lunghezza dei propri lati che all’ampiezza dei suoi angoli interni. Un triangolo può essere sia acutangolo che isoscele oppure può essere scaleno e ottusangolo. D’altro canto non è possibile definire un triangolo equilatero ottusangolo. Vediamo dunque le possibili combinazioni:
Un’altra rappresentazione interessante è quella mediante un diagramma di Eulero-Venn:
