In questo breve appunto vedremo in cosa consistono le terne pitagoriche e come calcolare una terna pitagorica. Per comprendere al meglio il contenuto di questo appunto è necessario conoscere il teorema di Pitagora. Dunque qui vedremo:

Per altri appunti di geometria piana ti rimandiamo al seguente link.

Cosa sono le terne pitagoriche

Le terne pitagoriche sono delle terne di numeri interi che soddisfano il teorema di Pitagora:

teorema di Pitagora

Dunque, indicando i numeri della terna pitagorica con le lettere a,b e c, deve essere soddisfatta la relazione:

a^{2} = b^{2}+c^{2}

le terne pitagoriche si suddividono in due tipologie:

  • primitive: se i numeri interi della terna sono primi tra loro
  • derivate: se i numeri della terna non sono primi tra loro. E’ possibile ottenere una terna derivata moltiplicando tutti i componenti di una terna primitiva per un numero intero. Ad esempio, la terna 3,4,5 è una terna primitiva. Se la moltiplichiamo per un qualsiasi numero, ad esempio 5, otterremmo la terna 15,20,25 che è ancora una terna pitagorica.

In generale, sia data una terna pitagorica a,b, c ed un numero intero k, la terna:

ka,kb,kc

è una terna pitagorica derivata. Infatti se scriviamo:

(ka)^{2}=(kb)^{2}+(kc)^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ k^{2}a^{2}= k^{2}b^{2}+k^{2}c^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \not{k ^{\not{2}}}a^{2}= \not{k ^{\not{2}}}b^{2}+\not{k ^{\not{2}}}c^{2} \\\,\\\ \Rightarrow \\\,\\ a^{2}=b^{2}+c^{2}

Con le opportune semplificazioni restituisce la terna pitagorica primitiva a,b e c. Riportiamo dunque di seguito l’elenco delle prime terne primitive:

terne pitagoriche

si noti che a è l’ipotenusa mentre b e c rappresentano i due cateti. Vediamo adesso nel prossimo paragrafo come calcolare le terne pitagoriche.

Come calcolare una terna Pitagorica

Vediamo in questo paragrafo come è possibile calcolare una terna pitagorica a partire da due numeri interi. Partiamo esprimendo il primo numero della terna (quello che rappresenta l’ipotenusa) come il quadrato di una somma:

a= s+t

mentre indichiamo b nel seguente modo:

b= s-t

affinché b abbia senso nella terna pitagorica abbiamo la prima condizione da porre: s>t. Adesso calcoliamoci c utilizzando il teorema di PItagora:

c^{2} = a^{2}-b^{2} = (s+t)^{2}-(s-t)^{2} =s^{2}+t^{2}+2st-s^{2}-t^{2}+2st \\\,\\\Rightarrow \\\,\\c^{2}= 4st \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ c= 2\sqrt{st}

affinché c rappresenti un numero intero positivo è necessario che s e t siano tali che il loro prodotto sia un quadrato. Al fine di ottenere una terna pitagorica primitiva, s e t devono essere primi tra loro ed uno pari e l’altro dispari. Ma se s e t devono essere primi tra loro ed il loro prodotto deve essere un quadrato essi stessi devono essere dei quadrati di numeri interi:

s= m^{2} \,,\, t= n^{2}

possiamo dire che è possibile ottenere una terna pitagorica primitiva a partire da due numeri interi m e n tali che:

  • m>n
  • m e n siano primi tra loro
  • m e n non siano contemporaneamente dispari, ma l’uno pari e l’altro dispari

Date queste condizioni, la terna pitagorica sarà:

a= m^{2}+n^{2}\\ b= m^{2}-n^{2}\\ c=2mn

Facciamo un esempio scegliendo m=7 e n=2

a= m^{2}+n^{2} =49+4=53\\ b=m^{2}-n^{2} = 49-4=45\\ c=2mn=2*7*2=28

abbiamo ottenuto la terna 28,45,53.

Nella seguente tabella, riportiamo le prime terne pitagoriche primitive ottenibili con questo metodo:

Terne pitagoriche: tabella

Possiamo dunque concludere che esistono infinite terne pitagoriche primitive

Terne pitagoriche
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