In questo breve appunto vedremo in cosa consistono le terne pitagoriche e come calcolare una terna pitagorica. Per comprendere al meglio il contenuto di questo appunto è necessario conoscere il teorema di Pitagora. Dunque qui vedremo:
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Cosa sono le terne pitagoriche
Le terne pitagoriche sono delle terne di numeri interi che soddisfano il teorema di Pitagora:
Dunque, indicando i numeri della terna pitagorica con le lettere a,b e c, deve essere soddisfatta la relazione:
a^{2} = b^{2}+c^{2}
le terne pitagoriche si suddividono in due tipologie:
- primitive: se i numeri interi della terna sono primi tra loro
- derivate: se i numeri della terna non sono primi tra loro. E’ possibile ottenere una terna derivata moltiplicando tutti i componenti di una terna primitiva per un numero intero. Ad esempio, la terna 3,4,5 è una terna primitiva. Se la moltiplichiamo per un qualsiasi numero, ad esempio 5, otterremmo la terna 15,20,25 che è ancora una terna pitagorica.
In generale, sia data una terna pitagorica a,b, c ed un numero intero k, la terna:
ka,kb,kc
è una terna pitagorica derivata. Infatti se scriviamo:
(ka)^{2}=(kb)^{2}+(kc)^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ k^{2}a^{2}= k^{2}b^{2}+k^{2}c^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \not{k ^{\not{2}}}a^{2}= \not{k ^{\not{2}}}b^{2}+\not{k ^{\not{2}}}c^{2} \\\,\\\ \Rightarrow \\\,\\ a^{2}=b^{2}+c^{2}
Con le opportune semplificazioni restituisce la terna pitagorica primitiva a,b e c. Riportiamo dunque di seguito l’elenco delle prime terne primitive:
si noti che a è l’ipotenusa mentre b e c rappresentano i due cateti. Vediamo adesso nel prossimo paragrafo come calcolare le terne pitagoriche.
Come calcolare una terna Pitagorica
Vediamo in questo paragrafo come è possibile calcolare una terna pitagorica a partire da due numeri interi. Partiamo esprimendo il primo numero della terna (quello che rappresenta l’ipotenusa) come il quadrato di una somma:
a= s+t
mentre indichiamo b nel seguente modo:
b= s-t
affinché b abbia senso nella terna pitagorica abbiamo la prima condizione da porre: s>t. Adesso calcoliamoci c utilizzando il teorema di PItagora:
c^{2} = a^{2}-b^{2} = (s+t)^{2}-(s-t)^{2} =s^{2}+t^{2}+2st-s^{2}-t^{2}+2st \\\,\\\Rightarrow \\\,\\c^{2}= 4st \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ c= 2\sqrt{st}
affinché c rappresenti un numero intero positivo è necessario che s e t siano tali che il loro prodotto sia un quadrato. Al fine di ottenere una terna pitagorica primitiva, s e t devono essere primi tra loro ed uno pari e l’altro dispari. Ma se s e t devono essere primi tra loro ed il loro prodotto deve essere un quadrato essi stessi devono essere dei quadrati di numeri interi:
s= m^{2} \,,\, t= n^{2}
possiamo dire che è possibile ottenere una terna pitagorica primitiva a partire da due numeri interi m e n tali che:
- m>n
- m e n siano primi tra loro
- m e n non siano contemporaneamente dispari, ma l’uno pari e l’altro dispari
Date queste condizioni, la terna pitagorica sarà:
a= m^{2}+n^{2}\\ b= m^{2}-n^{2}\\ c=2mn
Facciamo un esempio scegliendo m=7 e n=2
a= m^{2}+n^{2} =49+4=53\\ b=m^{2}-n^{2} = 49-4=45\\ c=2mn=2*7*2=28
abbiamo ottenuto la terna 28,45,53.
Nella seguente tabella, riportiamo le prime terne pitagoriche primitive ottenibili con questo metodo:
Possiamo dunque concludere che esistono infinite terne pitagoriche primitive
