In questo appunto vediamo in cosa consistono i teoremi su triangoli qualsiasi. Per teoremi su triangoli qualsiasi si intende un gruppo di teoremi che possono essere utilizzati in un generico triangolo per determinarne una delle sue caratteristiche. Per poter comprendere tali teoremi è necessario avere familiarità con le funzioni goniometriche ed in particolare il seno ed il coseno e degli elementi di una circonferenza. Vediamo la lista dei teoremi su triangoli qualsiasi e delle formule che tratteremo in questo appunto:

Per ulteriori argomenti di goniometria a trigonometria ti rimandiamo al relativo indice degli argomenti.

Il teorema della corda: enunciato e applicazione ai triangoli

Il teorema della corda è il primo dei teoremi su triangoli qualsiasi che affronteremo. Esso afferma che:

La lunghezza di una corda di una circonferenza è data dal prodotto del diametro della circonferenza per il seno di uno qualsiasi degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda

Consideriamo dunque la seguente circonferenza su cui identifichiamo una generica corda che indichiamo con AB:

teoremi su triangoli qualsiasi: teorema della corda

Il teorema ci dice che la lunghezza della corda AB è data dal prodotto del diametro della circonferenza (di seguito indicheremo il diametro con 2r) per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda stessa. Nella figura abbiamo diviso l’intera circonferenza in due archi indicati rispettivamente l1 e l2 e sono i due archi in cui la circonferenza è divisa dalla corda AB. Si ricordi che una delle proprietà degli archi alla circonferenza è che:

Tutti gli archi alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali tra loro.

Ne consegue quindi, che tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sull’arco l1 avranno ampiezza β, mentre tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sull’arco l2 avranno ampiezza α.

Algebricamente dunque il teorema ci dice che:

\color{Blue} \mathbf{AB= 2rsin \alpha}

ma vale anche la relazione:

{\color{Blue} \mathbf{AB=2rsin\beta}}

dunque ne consegue che pur essendo α e β diversi tra loro, sussiste la relazione:

sin\alpha = sin\beta

ciò accade perché i due angoli α e β sono supplementari.

Il teorema della corda è un teorema molto utile nella risoluzione dei problemi di geometria. In particolare, dato un generico triangolo e noto il diametro della circonferenza in cui tale triangolo è inscritto, è possibile applicare il teorema della corda per calcolare la lunghezza di uno dei lati del triangolo.

In un triangolo qualsiasi la lunghezza di un lato è infatti data dal prodotto del diametro della circonferenza in cui il triangolo è inscritto, per il seno dell’angolo opposto al lato.

Consideriamo il generico triangolo ABC:

possiamo dunque scrivere le seguenti relazioni:

\overline{AB } =2r sin\gamma \\\,\\ \overline{BC } =2r sin\alpha \\\,\\ \overline{AC } =2r sin\beta

per una dimostrazione dettagliata del teorema della corda, ti rimandiamo al seguente appunto.

Esempio di esercizio

Sia dato un generico triangolo ABC ottusangolo in β inscritto in una circonferenza di raggio 3cm. Sapendo che il lato AB misura 3 cm e che l’angolo BC misura 4,2 cm, calcolare il perimetro del triangolo

Nota: la notazione degli angoli e dei lati utilizzata in questo esercizio è tale che α sia l’angolo opposto a BC, β sia l’angolo opposto ad AC e γ sia l’angolo opposto ad AB.

Per calcolare il perimetro del triangolo è necessario calcolare la lunghezza del lato AC in quanto gli altri due lati sono noti. Non possiamo utilizzare il teorema della corda per calcolare AC in quanto non conosciamo il valore dell’angolo opposto. Possiamo però applicare il teorema per conoscere gli angoli opposti agli angoli noti. Consideriamo ad esempio il teorema applicato al lato AB:

\overline{AB}=2rsin \gamma \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ sin\gamma = \frac{\overline{AB}}{2r}= \frac{3}{2*3}=\frac{1}{2}\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \gamma_{1} = 30°\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \gamma_{2} = 150°

Abbiamo dunque due soluzioni per γ. La traccia del problema ci dice però che il triangolo è ottusangolo in β. Ne consegue dunque che l’angolo γ debba essere acuto. Dunque la soluzione da considerare è γ=30°. Eseguiamo la stessa operazione sul lato BC:

\overline{BC}=2rsin \alpha \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ sin\alpha = \frac{\overline{BC}}{2r}= \frac{4,2}{2*3}=0,7 \approx \frac{\sqrt{2}}{2}\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \alpha_{1} \approx 45°\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \alpha_{2} \approx 145°

Anche in questo caso, la soluzione da considerare è quella per la quale α è un angolo acuto.

Adesso, poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, possiamo calcolare il valore di β:

\beta= 180°-\alpha-\gamma \approx 180°-30°-45°\approx 105°

calcoliamo adesso la lunghezza del lato AC, applicando il teorema della corda:

\overline{AC}= 2rsin\beta = 2*3 sin(105) \approx 5,8 cm

possiamo adesso calcolare il perimetro del triangolo:

P = \overline{AB} +\overline{BC} +\overline{AC} = 3+4,2+5,8 = 13cm

Il triangolo ha un perimetro di 13 cm.

Il teorema dei seni o di Eulero

Un altro teorema su triangoli qualsiasi è il teorema dei seni. Esso afferma che:

In un qualsiasi triangolo, il rapporto tra la lunghezza di un lato ed il seno dell’angolo ad esso opposto è costante.

Il teorema dei seni è strettamente legato al teorema della corda visto nel paragrafo precedente. Consideriamo dunque il generico triangolo:

teoremi su triangoli qualsiasi: teorema dei seni

il teorema ci dice quindi che:

\frac{\overline{AB}}{sin(\gamma)}=\frac{\overline{BC}}{sin(\alpha)}=\frac{\overline{AC}}{sin(\beta)}=k

Si noti che essendo il seno di un angolo adimensionale, la costante k ha la stessa unità di misura utilizzata per misurare la lunghezza dei lati del triangolo. Dunque anche k rappresenta una lunghezza. Questo teorema è molto significativo in quanto consente di risolvere parecchi problemi di geometria e trigonometria. Basta conoscere l’ampiezza di due angoli e la lunghezza di uno solo dei lati del triangolo, per stimare le lunghezze di tutti gli altri lati!

Mettiamo adesso a confronto le relazioni ottenute dal teorema della corda con quella del teorema dei seni. Ne risulta che la costante k è il diametro della circonferenza in cui è possibile inscrivere il triangolo! Dunque, possiamo riscrivere il teorema nel seguente modo:

\frac{\overline{AB}}{sin(\gamma)}=\frac{\overline{BC}}{sin(\alpha)}=\frac{\overline{AC}}{sin(\beta)}=2r

Per la dimostrazione dettagliata del teorema dei seni ti rimandiamo al seguente appunto.

Esempio di esercizio

Sia dato un triangolo acutangolo di cui sono note le ampiezze di due angoli (α = 60° e β= 75°) e la lunghezza del lato opposto(AB) al terzo angolo (4m). Applicare il teorema dei seni per calcolare la lunghezza degli altri due lati.

Il problema non fornisce da principio alcuna coppia lato-angolo opposto per applicare il teorema. E’ necessario quindi calcolare il terzo angolo che indicheremo con γ considerando che la somma interna degli angoli di un triangolo è 180°:

\gamma = 180°-\alpha-\beta= 180°-60°-74° = 45°

Possiamo adesso calcolare il rapporto tra il lato AB ed il seno di γ per identificare la costante del teorema dei seni, ovvero il diametro nel quale il triangolo è inscritto:

2r= \frac{\overline{AB}}{sin(\gamma) } =\frac{4}{sin(45) } \approx 5,66m

possiamo adesso calcolare la lunghezza degli altri lati del triangolo considerando ancora un volta il teorema:

\frac{\overline{BC}}{sin(\alpha)} =2r \approx 5,66m \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \overline{BC} \approx 5,66sin(60) \approx 4,9m
\frac{\overline{AC}}{sin(\beta)} =2r \approx 5,66m \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \overline{AC} \approx 5,66sin(75) \approx 5,46m

Abbiamo dunque calcolato le lunghezze di tutti e tre i lati!

Il teorema delle proiezioni

Il teorema delle proiezioni è un altro dei teoremi su triangoli qualsiasi. Esso afferma che:

In un triangolo, ciascun lato è dato dalla somma del prodotto delle lunghezze degli altri due lati per il coseno dell’angolo che questi formano con il primo

Cerchiamo di comprendere meglio l’enunciato del teorema utilizzando la seguente figura:

teoremi su triangoli qualsiasi: teorema delle proiezioni

Consideriamo ad esempio il lato BC con il quale il lato AB forma un angolo di ampiezza β ed il lato AC forma un angolo di ampiezza γ. Il teorema ci dice:

\overline{BC} = \overline{AB}cos(\beta) + \overline{AC}cos(\gamma)

Allo stesso modo è possibile scrivere la medesima relazione per gli altri due lati:

\overline{AB} = \overline{BC}cos(\beta) + \overline{AC}cos(\alpha) \\\,\\\overline{AC} = \overline{AB}cos(\alpha) + \overline{BC}cos(\gamma)

Per un approfondimento circa la dimostrazione del teorema delle proiezioni e i casi di triangoli particolari (triangolo rettangolo ed isoscele), ti rimandiamo al seguente appunto.

Esempio di esercizio

Calcolare il lato l1 di un triangolo sapendo che gli altri due lati misurano rispettivamente l2=32 e l3=47.8 cm. Questi ultimi due lati formano con il primo due angoli rispettivamente di ampiezza β=120° e γ=35,3° gradi.

Per risolvere l’esercizio occorre utilizzare il teorema delle proiezioni:

l_{1} =l_{2}cos\beta+l_{3}cos\gamma = 32°cos120°+47,8cos35,3° \approx -16+39 \approx 23cm
Teorema di Carnot o del coseno

Il teorema di Carnot o teorema del coseno è uno dei teoremi su triangoli qualsiasi della trigonometria. Esso consente di ricavare la lunghezza di un lato del triangolo note le lunghezze degli altri due e dell’angolo ad esso opposto. L’enunciato del teorema dice:

In un triangolo qualsiasi il quadrato della lunghezza di un lato é uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze degli altri due lati diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell’angolo tra essi compreso.

teoremi su triangoli qualsiasi: teorema di Carnot

in termini di formule, possiamo esprimere il teorema nel seguente modo:

c^{2} = a^{2}+b^{2}-2ab cos\gamma \\\,\\ b^{2} = a^{2}+c^{2}-2ac cos\beta \\\,\\ a^{2} = b^{2}+c^{2}-2bc cos\alpha

è inevitabile notare come il teorema di Carnot rassomigli al teorema di Pitagora. Si può infatti facilmente dimostrare che il teorema di Pitagora è il caso particolare del teorema di Carnot. Infatti per un triangolo rettangolo, l’applicazione del teorema di Carnot all’ipotenusa restituisce nella formula il coseno di 90° che è pari a zero.

Le formule inverse del Teorema di Carnot consentono di ricavare il coseno degli angoli interni del triangolo se note le lunghezze degli angoli interni:

cos\alpha = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,\alpha = arccos\left(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right) \\\,\\ cos\beta = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,\beta = arccos\left(\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\right)\\\,\\ cos\gamma = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,\gamma = arccos\left(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)

Per una dimostrazione dettagliata del teorema di Carnot, sia per triangoli acutangoli che ottusangoli ti rimandiamo al relativo appunto.

Esempio di esercizio

Dato un triangolo avente lati a=3cm, b= 6cm e angolo tra essi compreso pari a 15°, calcolare la lunghezza del lato c

Applichiamo il teorema di Carnot:

c^{2}= a^{2}+b^{2}-2abcos\gamma = 9+36-2*3*6cos15 = 45-36cos15 \approx 10,23cm^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ c= \sqrt{10,23} = 3,2cm
Formula per calcolare l’area di un generico triangolo

In questo appunto relativo ai teoremi su triangoli qualsiasi parliamo anche di formule generali che derivano dai teoremi precedentemente visti. In questo paragrafo parliamo della formula per calcolare l’area di un generico triangolo applicabile quando è nota la misura della lunghezza di due lati e l’ampiezza dell’angolo fra essi compreso. Questa formula dice che:

L’area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo tra di essi compreso

Ciò significa che per un generico triangolo possiamo scrivere le seguenti tre formule per l’area:

A = \frac{1}{2}ab sin\gamma \\\,\\A = \frac{1}{2}ac sin\beta \\\,\\A = \frac{1}{2}bc sin\alpha \\\,\\

per la dimostrazione di tale formula ti rimandiamo al relativo appunto.

Esempio di esercizio

Sia dato un triangolo aventi due lati di lunghezza 30 e 46 cm. L’angolo fra essi compreso è α = 40°. Calcolare l’area del triangolo.

Per calcolare l’area basta applicare la formula:

A= \frac{1}{2}l_{1}l_{2}sin\alpha = \frac{1}{2}30*46*sin40° \approx 443,5 cm^{2}
Formula di Erone per il calcolo dell’area di un triangolo noti i suoi lati

La formula di Erone è una formula che consente di calcolare l’area di un generico triangolo noti i suoi tre lati. Si tratta del primo argomento di questo appunto che non deriva direttamente dalla trigonometria, per cui, se stai affrontando il programma di trigonometria ti consigliamo di utilizzare la formula vista nel paragrafo precedente per il calcolo dell’area. La formula di Erone ci dice che l’area di un triangolo di lati a,b e c è pari a:

A= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

dove p è il semiperimetro del triangolo:

p= \frac{a+b+c}{2}

per la dimostrazione della formula di Erone, ti rimandiamo al relativo appunto.

Esempio di esercizio

Sia dato un triangolo di lati a=32 cm, b=15cm e c=27,73 cm. Calcolare l’area di tale triangolo

Calcoliamo innanzitutto il semiperimetro del triangolo:

p=\frac{a+b+c}{2} =\frac{32+15+27,73}{2} = 37,37 cm

Applichiamo la formula di Erone per il calcolo dell’area:

A= \sqrt{(p-a)p(p-b)(p-c)} = \sqrt{(37,37-27,73)*37,37*(37,37-32)*(37,37-15)} \approx \sqrt{43275} \approx 208cm^{2}
Raggio circonferenza inscritta e circoscritta

La formula per calcolare il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo è piuttosto semplice:

r= \frac{A}{p}
​

dove A è l’area del triangolo e p è il suo semiperimetro.

Il raggio invece della circonferenza circoscritta al triangolo può essere calcolato in due modi. Il primo deriva direttamente dal teorema della corda e dal teorema dei seni visto in precedenza:

r= \frac{\overline{AB}}{2sin(\gamma)}=\frac{\overline{BC}}{2sin(\alpha)}=\frac{\overline{AC}}{2sin(\beta)}

il secondo dipende dalla geometria piana:

r=\frac{abc}{4A}

Per la dimostrazione relativa a queste formule vedere l’appunto dedicato.

Esempio di esercizio

Dato il triangolo avente come lati a = 32; b = 28; c = 27 e l’altezza relativa a b pari a 25,55. Calcolare il raggio della circonferenza inscritta e della circonferenza circoscritta ad esso.

Partiamo dal raggio della circonferenza inscritta. La formula più semplice e derivante dalla geometria piana ci dice che:

r_{inscritta}= \frac{A}{p}

dove A è l’area del triangolo e p il suo semiperimetro. Calcoliamo dunque entrambi questi valori:

A= \frac{bh}{2}=\frac{28*25,55}{2}= 357,7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ p =\frac{a+b+c}{2} = \frac{32+28+27}{2} = 43,5

possiamo adesso calcolare il raggio:

r=\frac{A}{p}=\frac{357,7}{43,5} \approx 8,22

Avendo già calcolato l’area del triangolo, possiamo dunque calcolare il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo:

r=\frac{abc}{4A}=\frac{32*28*27}{4*357,7} \approx 16,9
Mediana e bisettrice di un triangolo

Altre formule che derivano dai teoremi su triangoli qualsiasi sono quelle che consentono di determinare la misura delle lunghezze delle mediane e delle bisettrici di un triangolo. Sia dato un generico triangolo di cui vogliamo calcolare la misura della lunghezza delle mediane:

mediana di un triangolo

le formule per poter eseguire tale calcolo sono:

\overline{AM} =  \sqrt{\frac{2c^{2}+2b^{2}-a^{2}}{4}}\\\,\\

\overline{BN} = \sqrt{\frac{2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}\\\,\\ \overline{CL} = \sqrt{\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}

se invece siamo interessato al calcolo della misura della lunghezza delle bisettrici:

bisettrici di un triangolo

è necessario applicare le seguenti formule:

\overline{AD} =  \frac{2bccos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{b+c}\\\,\\
 
\overline {BE} = \frac{2ac cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}{a+c} \\\,\\\overline {CF} = \frac{2ab cos\left(\frac{\gamma}{2}\right)}{a+b}

per la dimostrazioni delle formule delle mediane e delle bisettrici, ti rimandiamo al relativo appunto.

Esempio di esercizio

Calcolare le mediane e le bisettrici di un triangolo avente i lati di lunghezza: a=40cm; b=52cm; c=47,159cm e gli angoli di ampiezza α=47,269° β=72,731° γ=60°

Applichiamo le formule viste nei paragrafi precedenti. Partiamo dalle mediane:

\overline{AM} = \sqrt{\frac{2c^{2}+2b^{2}-a^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{4447,94+5408-1600}{4}}\approx\sqrt{2063,98}\approx45.43 cm \\\,\\ \overline{BN} = \sqrt{\frac{2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{3200+4447,94-2702}{4}}\approx\sqrt{1236,48}\approx 35,16cm\\\,\\ \overline{CL} = \sqrt{\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}} =\sqrt{\frac{3200+5408-2223,97}{4}}\approx \sqrt{1596} \approx 39,95cm

concludiamo con le bisettrici:

bis_{\alpha/2} = \frac{2bccos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{b+c} = \frac{2*52*47,159\,cos(23,634)}{52+47,159} \approx 45,312cm \\\,\\ bis_{\beta/2} =\frac{2ac cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}{a+c} =\frac{2*40*47,159\, cos\left(36,355\right)}{40+47,159} \approx 34,86 cm \\\,\\bis_{\gamma/2} =\frac{2ab cos\left(\frac{\gamma}{2}\right)}{a+b} =\frac{2*40*52* cos30}{40+52}\approx 39,159 cm
Teoremi su triangoli qualsiasi