In questo appunto vedremo qual è l’enunciato dei teoremi di Euclide e la loro dimostrazione. Per poter comprendere a pieno quanto qui verrà riportato è importante avere familiarità con il concetto di triangolo rettangolo. In questo appunto vedremo:

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Proiezioni dei cateti rispetto all’ipotenusa

Prima di enunciare i due teoremi di Euclide è importante familiarizzare con il concetto delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Sia dato un triangolo rettangolo ABC il cui angolo retto è in A e rappresentiamolo con l’ipotenusa come base. Tracciamo l’altezza relativa all’ipotenusa a partire dal vertice A:

teoremi di Euclide: triangolo rettangolo

E’ possibile a questo punto indicare con H il punto di intersezione dell’altezza con l’ipotenusa. Il punto H divide l’ipotenusa in due segmenti BH e CH. Possiamo allora dire che:

  • Si definisce la proiezione del cateto AB sull’ipotenusa il segmento BH
  • Si definisce la proiezione del cateto AC sull’ipotenusa il segmento CH

Le due proiezioni sono tali che la loro somma restituisce l’ipotenusa del triangolo rettangolo:

\overline{BC} = \overline{BH} + \overline{CH}

Avendo definito il concetto di proiezione dei cateti sull’ipotenusa, possiamo adesso passare agli enunciati dei teoremi di Euclide

Primo teorema di Euclide: enunciato

Facendo riferimento alla figura del paragrafo precedente esprimiamo l’enunciato del primo teorema di Euclide. Riportiamo l’enunciato in due modi:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su uno dei cateti è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione di quel cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa.

E’ possibile dunque scrivere:

AB^{2} = BC*BH \\\,\\ 
AC^{2} = BC*CH

In un triangolo rettangolo il rapporto tra l’ipotenusa ed uno dei cateti è uguale al rapporto di quel cateto con la sua proiezione sull’ipotenusa.

E’ dunque possibile scrivere le seguenti proporzioni:

BC:AB=AB=BH \\\,\\ BC:AC=AC:CH

E’ abbastanza evidente che i due enunciati sono del tutto equivalenti. Risolvendo infatti le proporzioni del secondo enunciato rispetto ai cateti che sono medi proporzionali, si ottengono le formule del primo enunciato.

Vediamo adesso nel seguito come dimostrare il primo teorema di Euclide. Lo faremo per entrambe gli enunciati del teorema. Per semplicità ed immediatezza preferiamo la seconda dimostrazione alla prima

Prima Dimostrazione primo teorema di Euclide

Dimostriamo adesso che il quadrato costruito su uno dei due cateti sia equivalente al rettangolo avente come lati la proiezione del cateto e l’ipotenusa. Disegniamo il quadrato ed il rettangolo nel seguente modo:

Primo teorema di Euclide: enunciato

dobbiamo dunque dimostrare che il quadrato ADBE sia equivalente al rettangolo BHFG. Per farlo utilizziamo un altro poligono che si ottiene prolungando i lati del quadrato e quelli del rettangolo:

primo teorema di Euclide: dimostrazione

Ci riferiamo al parallelogramma ABIL ottenuto proiettando il lato DE del quadrato ed i lati HF e BG del rettangolo. Adesso dimostriamo che il quadrato ABDE sia equivalente al parallelogramma ABIL. Si ricordi che l’area del parallelogramma è data del prodotto di una qualsiasi base per l’altezza ad essa relativa. Allora notiamo subito che:

  • Se consideriamo AB come base del parallelogramma, questa coincide con uno dei lati del quadrato.
  • L’altezza relativa ad AB per il parallelogramma altro non è che il segmento EA che coincide con uno dei lati del quadrato

Allora possiamo concludere che l’area del parallelogramma è uguale a:

A_{ABIL} = AB*EA 

coincidendo quindi con l’area del quadrato. Dunque il parallelogramma ABIL ed il quadrato ABDE sono equivalenti.

Adesso vogliamo dimostrare che il parallelogramma ABIL sia equivalente al rettangolo HBFG. Consideriamo in questo caso come base del parallelogramma il lato BI. Possiamo subito notare che:

  • L’altezza relativa alla base BI del parallelogramma è il segmento BH che coincide con uno dei lati del rettangolo BHFG

Ci rimane da dimostrare che BI sia congruente a HF e quindi all’ipotenusa BC del triangolo rettangolo. Per farlo, consideriamo i due triangoli ABC e BDE. Possiamo dire che:

  • I due triangoli sono entrambi rettangoli ed hanno i cateti AB e BD congruenti essendo lati fi un quadrato
  • I due angoli:
D\widehat{B}I \\\,\\  A\widehat{B}C
  • possiamo dire che tali due angoli sono uguali in quanto sono entrambi complementari all’angolo ABI. Dunque poichè i due triangoli ABC e BDE hanno un lato in comune e gli angoli ad esso adiacenti in comune per il secondo criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti.

Ne consegue dunque che:

BI=HF

Dunque possiamo scrivere l’area del parallelogramma come:

A_{ABIL} =HB*BI = HB*BF = A_{HBFG}

Dunque ricapitolando:

Abbiamo dimostrato che il quadrato ABDE è equivalente al parallelogramma ABIL che a sua volta è equivalente al rettangolo HBFG. Ne consegue che il quadrato ABDE è equivalente al rettangolo HBFG come enunciato dal primo teorema di Euclide.

Seconda dimostrazione primo teorema di Euclide

Dimostriamo ancora una volta il primo teorema di Euclide tentando di verificare una delle proporzioni viste nel primo paragrafo:

BC:AB=AB=BH \\\,\\ BC:AC=AC:CH

Consideriamo ancora una volta il triangolo rettangolo con la proiezione dei suoi cateti sull’ipotenusa:

Adesso consideriamo i due triangoli ABC e AHC. Tali triangoli sono tali da avere:

  • entrambi un angolo retto e quindi si tratta di triangoli rettangoli
  • Un angolo in comune. Si tratta dell’angolo:
A\widehat{B}C 
  • poiché abbiamo visto che i due triangoli hanno due angoli uguali, allora anche il terzo angolo sarà uguale. Abbiamo infatti che:
B\widehat{C}A = H\widehat{A}B 

Dunque possiamo dedurre che i due triangoli sono simili ed essendo tali i lati sono in proporzione tra loro Ciò significa che il rapporto tra l’ipotenusa del primo triangolo con l’ipotenusa del secondo triangolo è uguale al rapporto del cateto minore del primo triangolo con il cateto minore del secondo triangolo ed al rapporto del cateto maggiore del primo triangolo con il cateto maggiore del secondo triangolo. Possiamo dunque scrivere:

\frac{BC}{AB} = \frac{AB}{BH} = \frac{AC}{AH}

Consideriamo solo i primi due membri:

\frac{BC}{AB} = \frac{AB}{BH}

potremmo scriverla come una proporzione. Otterremo:

BC:AB=AB:BH

Si noti che la ragione per la quale AB è medio proporzionale è dovuta al fatto che AB è cateto per il primo triangolo ed ipotenusa per il secondo.

Potremmo facilmente dimostrare in egual modo la seconda proporzione considerando questa volta i triangoli ABC e ACH

Secondo teorema di Euclide: enunciato

Anche questa volta presentiamo l’enunciato del secondo teorema di Euclide proponendo due forme. La prima dice:

In un qualsiasi triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo costruito con le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa

E’ possibile dunque scrivere:

AH^{2} = BH*CH

La seconda forma di enunciato è la seguente:

In un triangolo rettangolo qualsiasi, l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale rispetto alle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

In altre parole, possiamo scrivere:

BH:AH=AH:CH

Le due forme dell’enunciato sono del tutto equivalenti. Infatti dalla proporzione del secondo enunciato si può facilmente ottenere l’uguaglianza del primo enunciato.

Prima dimostrazione del secondo teorema di Euclide

Dimostriamo di seguito la prima forma dell’enunciato del secondo teorema di Euclide. Disegniamo sul triangolo rettangolo di partenza:

  • il quadrato costruito su di un cateto che indicheremo con ABDE ed avente un’area che indicheremo con Q1
  • quello costruito sull’altezza che indicheremo con le lettere AHMN ed avente un’area che indicheremo con Q2
  • quello costruito sulla sua proiezione del cateto AB e che indicheremo con le lettere BHFG ed avente un’area che indicheremo con Q3
  • un rettangolo aventi come lati le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Indicheremo tale rettangolo con le lettere FGIL e la cui area indicheremo con R
secondo teorema di Euclide: dimostrazione

Adesso consideriamo il triangolo rettangolo ABH dove AB è l’ipotenusa e AH e BH sono i cateti. Applichiamo il teorema di Pitagora su questo triangolo. Abbiamo dunque:

Q_{1}= Q_{2}+Q_{3}

Applichiamo adesso il primo teorema di Euclide visto nei precedenti paragrafi. Possiamo scrivere:

Q_{1} = Q_{3}+R

Quindi osservando i risultati ottenuti applicando i due teoremi abbiamo che:

Q_{2}+Q_{3} = Q_{3}+R

ne consegue che:

Q_{2}=R

ma poichè:

Q_{2}=AH^{2} \\\,\\ R= BH*CH

ricordiamo infatti che FG è congruente a BH e che FI è congruente a CH. Possiamo concludere che:

AH^{2}= BH*CH

dimostrando così il secondo teorema di Euclide

Secondo teorema di Euclide: seconda dimostrazione

Dimostriamo anche il secondo teorema di Euclide sfruttando ancora una volta i criteri di similitudine dei triangoli. Partiamo dalla figura:

consideriamo i due triangoli ACH e AHB. Di questi due triangoli possiamo dire:

  • Hanno entrambi un angolo retto:

 

A\widehat{H}B =A\widehat{H}C=90°
  • L’angolo ACH è complementare all’angolo ABH se consideriamo il triangolo rettangolo ABC. Poiché anche l’angolo HAB è complementare a ABC possiamo concludere che:
A\widehat{C}H = H\widehat{A}B
  • Ne consegue allora che i due triangoli avranno anche i rimanenti angoli uguali:
A\widehat{B}H = C\widehat{A}H

Dunque per il primo criterio di similitudine ne consegue che i due triangoli rettangoli sono simili tra loro. Allora possiamo dire che i lati sono in proporzione tra loro:

\frac{AC}{AB} =\frac{CH}{AH} =\frac{AH}{HB}

consideriamo l’ultima uguaglianza:

\frac{CH}{AH} =\frac{AH}{HB}

possiamo riscriverla come una proporzione ottenendo:

CH:AH=AH:HB

Abbiamo così dimostrato il secondo teorema di Euclide!

Esempi di esercizi

Vediamo di seguito alcuni esempi di esercizi in cui è richiesta l’applicazione dei teoremi di Euclide. Si faccia riferimento alla seguente figura per interpretare il riferimento all’ipotenusa, i cateti e le loro proiezioni:

Esercizio 1

Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo sapendo che l’ipotenusa è lunga 24 cm e la proiezione del cateto minore è lunga 6 cm.

Dunque il problema ci dice che:

BC= 24cm \\\,\\ HB = 6 cm

Possiamo dunque applicare il primo teorema di Euclide per calcolarci la lunghezza del cateto AB. Sappiamo infatti che:

AB^{2} = BC*BH = 24*6 = 144cm^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ AB= \sqrt{144}=12cm

Adesso ci manca ricavare il cateto AC. Abbiamo diversi modi come ad esempio il teorema di Pitagora. Per esercizio, continuiamo ad applicare il primo teorema di Euclide. In particolare possiamo calcolarci la proiezione del secondo cateto sull’ipotenusa:

CH = AB-BH = 24-6=18

Applichiamo il primo teorema di Euclide al secondo cateto:

AC^{2} = BC*CH =24*18 = 432 cm^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ AC = \sqrt{432} \approx 20,8cm

possiamo adesso calcolare il perimetro del triangolo rettangolo:

P =AB+BC+AC = 12+24+20,8 = 56,8cm

Esercizio 2

Calcolare l’area di un triangolo rettangolo sapendo che le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa sono lunghe rispettivamente 3 e 12 cm

Il problema ci da dunque i seguenti dati:

BH = 3cm \\\,\\ CH= 12 cm

possiamo applicare il secondo teorema di Euclide per calcolare l’altezza del triangolo rettangolo:

AH^{2}= BH*CH = 3*12=36 cm^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ AH= \sqrt{36}= 6 cm

Adesso, l’ipotenusa che considereremo come la base del nostro triangolo rettangolo è data dalla somma delle proiezioni dei cateti:

BC=BH+CH =3+12 = 15 cm

Possiamo adesso calcolare l’area:

A_{ABC} = \frac{BC*AH}{2} =\frac{15*6}{2} = 45cm^{2} 
Teoremi di Euclide: enunciati e dimostrazioni
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