Teorema di Pitagora

In questo appunto diamo una definizione ed una dimostrazione ad uno dei teoremi più famosi: il teorema di Pitagora. Per poter comprendere il contenuto di questo appunto è consigliabile avere familiarità con il concetto di triangolo rettangolo di cui potrai trovare una breve spiegazione al seguente link. In questo appunto vedremo:

• Enunciato del teorema di Pitagora
• Dimostrazione
• Terne pitagoriche
• Esempi di esercizi

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Enunciato del teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora afferma che:

In un qualsiasi triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti

L’enunciato è abbastanza breve e chiaro nella sua esposizione. Per capirlo dal punto di vista geometrico disegniamo un generico triangolo rettangolo e costruiamoci un quadrato su ciascun lato:

Indicando con Q, Q₁ e Q₂ le aree dei quadrati costruiti rispettivamente sull’ipotenusa e sui due cateti, possiamo scrivere il teorema di Pitagora attraverso la formula:

Q= Q_{1}+Q_{2}

adesso, sapendo che l’area di un quadrato è data dal quadrato della lunghezza del suo lato, possiamo riscrivere il teorema nel seguente modo:

a^{2} = b^{2}+c^{2}

dove con a si è indicata l’ipotenusa del triangolo rettangolo e con b e c i due cateti. Volendo ottenere dunque il valore dell’ipotenusa, conoscendo il valore dei cateti, occorre eseguire l’operazione di estrazione della radice:

a = \sqrt{b^{2}+c^{2}}

Dal teorema di Pitagora, ne conseguono anche le seguenti formule inverse:

c^{2} = a^{2}-b^{2} \,\, \Rightarrow \,\, c = \sqrt{a^{2}-b^{2}} \\\,\\ \\\,\\b^{2} = a^{2}-c^{2} \,\, \Rightarrow \,\, b = \sqrt{a^{2}-c^{2}} 

Adesso nel prossimo paragrafo vedremo una delle tante dimostrazioni esistenti del teorema di Pitagora

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema di Pitagora abbiamo scelto una dimostrazione di tipo geometrico molto semplice. Consideriamo un quadrato il cui lato è dato dalla somma dei due di un triangolo rettangolo. Prenderemo le lunghezze dei cateti del triangolo disegnato nel paragrafo precedente:

Scomponiamo tale quadrato in due modi diversi. Il primo modo consiste nell’unire i 4 punti che dividono ciascun lato del quadrato nelle lunghezze dei cateti del paragrafo precedente:

Si può facilmente dimostrare che:

• si formano 4 triangoli rettangoli equivalenti al triangolo rettangolo visto nel paragrafo precedente. Infatti per il primo principio di congruenza abbiamo che ciascuno dei quattro triangoli hanno, con il triangolo del paragrafo precedente, in comune due lati (i due cateti) e l’angolo fra essi compreso (angolo retto di 90°).
• Ne consegue che il quadrilatero rosso che si forma al centro ha tutti e quattro i lati uguali all’ipotenusa a. Tale quadrilatero è un quadrato in quanto i suoi angoli sono tutti di 90°. Quest’ultimo aspetto si può facilmente dimostrare considerando che la somma dei due angoli diversi dall’angolo retto in un triangolo rettangolo deve essere 90°. Si noti che tale quadrato è il quadrato costruito sull’ipotenusa per tutti i triangoli rettangoli. Dunque

Ne consegue dunque che l’area del quadrato totale è data da:

A_{quadrato} = 4A_{triangolo \, rettangolo }+Q

ovvero:

A_{quadrato} = 4A_{triangolo \, rettangolo }+a^{2}

Adesso scomponiamo il quadrato in un altro modo. Questa volta posizioniamo i punti che dividono ciascun lato del quadrato nella somma dei due cateti, in modo da corrispondersi:

Congiungiamo a due a due tali punti in maniera tale da ottenere lati paralleli a quelli del quadrato, e quindi della stessa lunghezza:

Il quadrato risulta dunque scomposto in:

• Un quadrato di lato b e dunque di area Q₁ o equivalentemente b².
• Un quadrato di lato c e dunque di area Q₂ o equivalentemente c²
• 2 rettangoli di lati b e c. Tracciando le diagonali di tali due rettangoli, otteniamo 4 triangoli rettangoli equivalenti al triangolo del paragrafo precedente. I due triangoli rettangoli più interni sono tali che i due quadrati Q₁ e Q₂ sono costruiti proprio sui loro cateti

Dunque possiamo scrivere:

A_{quadrato} = 4A_{triangolo \, rettangolo }+Q_{1}+Q_{2}

ovvero:

A_{quadrato} = 4A_{triangolo \, rettangolo }+b^{2}+c^{2}

Mettiamo insieme le due scomposizioni:

Abbiamo trovato dunque due relazioni per l’area del quadrato:

A_{quadrato} = 4A_{triangolo \, rettangolo }+Q \\\,\\A_{quadrato} = 4A_{triangolo \, rettangolo }+Q_{1}+Q_{2}

Eliminando dunque da ciascun quadrato i 4 triangoli rettangoli tutti equivalenti tra loro, rimane nella prima figura Q mentre nella seconda figura Q₁+Q₂ dunque possiamo scrivere:

Q = Q_{1}+Q_{2}

da cui:

a^{2}=b^{2}+c^{2}

Abbiamo così dimostrato il teorema di Pitagora.

Terne Pitagoriche

Quando abbiamo a che fare con un triangolo rettangolo, difficilmente capita di avere che i 3 lati abbiano lunghezze rappresentate da numeri interi. Quando ciò succede si dicie che si ha a che fare con una terna pitagorica. Le terne pitagoriche sono dunque delle terne di numeri interi che soddisfano il teorema di Pitagora. Un esempio è la terna:

a=5, b=4, c=3

per la quale vale la relazione:

a^{2}= b^{2}+c^{2}

infatti:

25=16+9

Le terne pitagoriche si dividono in:

• primitive: se i numeri interi della terna sono primi tra loro
• derivate: se i numeri della terna non sono primi tra loro. E’ possibile ottenere una terna derivata moltiplicando tutti i componenti di una terna primitiva per un numero intero. Ad esempio, la terna 3,4,5 è una terna primitiva. Se la moltiplichiamo per un qualsiasi numero, ad esempio 5, otterremmo la terna 15,20,25 che è ancora una terna pitagorica.

In generale, sia data una terna pitagorica a,b, c ed un numero intero k, la terna:

ka,kb,kc

è una terna pitagorica derivata. Infatti se scriviamo:

(ka)^{2}=(kb)^{2}+(kc)^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ k^{2}a^{2}= k^{2}b^{2}+k^{2}c^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \not{k 
^{\not{2}}}a^{2}= \not{k 
^{\not{2}}}b^{2}+\not{k 
^{\not{2}}}c^{2} \\\,\\\ \Rightarrow \\\,\\ a^{2}=b^{2}+c^{2}

Riportiamo dunque di seguito l’elenco delle prime terne primitive:

si noti che a è l’ipotenusa mentre b e c rappresentano i due cateti.

Esempi di esercizi

Esempio 1

Sia dato un triangolo rettangolo avente ipotenusa di lunghezza 20 cm ed uno dei due cateti di lunghezza 16cm. Calcolare la lunghezza dell’altro cateto

Utilizziamo una delle formule inverse del teorema di Pitagora che ci consentono di calcolare la lunghezza del secondo cateto. Indicando a=20 e b=16 possiamo scrivere:

c= \sqrt{a^{2}-b^{2}} = \sqrt{400-256} = \sqrt{144} = 12cm

Esempio 2

Sia dato un triangolo rettangolo di area 84cm² ed avente un cateto di lunghezza 7 cm. Calcolare il valore del secondo cateto e dell’ipotenusa.

Ricordiamo che l’area di un triangolo rettangolo è data dal semiprodotto dei due cateti:

A = \frac{bc}{2}

dunque indicando b=7cm, possiamo ricavarci il secondo cateto:

c= \frac{2A}{b} =\frac{2*84}{7}= \frac{168}{7}= 24 cm

adesso possiamo calcolarci il valore dell’ipotenusa a applicando il teorema:

a = \sqrt{b^{2}+c^{2}} = \sqrt{49+576} = \sqrt{625}= 25cm