In questo appunto vediamo la definizione e la dimostrazione del teorema di Carnot e alcuni esempi di esercizi. Il teorema di Carnot richiede di conoscere le funzioni seno e coseno per poter essere compreso ed anche i teoremi sui triangoli rettangoli che ne derivano. In questo appunto vedremo:

Potrai trovare ulteriori appunti sulla goniometria al seguente link.

Enunciato del teorema di Carnot o teorema del coseno

Il teorema di Carnot o teorema del coseno è un teorema della trigonometria che può essere applicato a qualsiasi tipo di triangolo e che consente di ricavare la lunghezza di un lato del triangolo note le lunghezze degli altri due e dell’angolo ad esso opposto. L’enunciato del teorema dice:

In un triangolo qualsiasi il quadrato della lunghezza di un lato é uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze degli altri due lati diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell’angolo tra essi compreso.

Teorema di Carnot: triangolo generico

in termini di formule, possiamo esprimere il teorema nel seguente modo:

c^{2} = a^{2}+b^{2}-2ab cos\gamma \\\,\\ b^{2} = a^{2}+c^{2}-2ac cos\beta \\\,\\ a^{2} = b^{2}+c^{2}-2bc cos\alpha

è inevitabile notare come il teorema di Carnot rassomigli al teorema di Pitagora. Si può infatti facilmente dimostrare che il teorema di Pitagora è il caso particolare del teorema di Carnot. Infatti per un triangolo rettangolo, l’applicazione del teorema di Carnot all’ipotenusa restituisce nella formula il coseno di 90° che è pari a zero.

Dimostrazione con triangoli aventi angoli alla base acuti

Dimostriamo adesso il teorema di Carnot partendo dal caso più semplice in cui il lato da calcolare abbia un angolo opposto acuto. Riprendiamo il triangolo disegnato nel paragrafo precedente e disegniamo l’altezza AH:

dimostrazione Teorema di Carnot con triangoli acutangoli

poiché l’altezza è sempre perpendicolare alla base, i due triangoli ABH e AHC sono due triangoli rettangoli. Applichiamo il teorema di Pitagora al primo rettangolo imponendo il quadrato dell’ipotenusa uguale alla somma dei quadrati dei cateti:

c^{2} = \overline{BH}^{2}+h^{2} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbf{(1.1)}

Adesso possiamo notare che:

\overline{BH} =a-\overline{CH}

dunque possiamo riscrivere il teorema di Pitagora della (1.1) come:

c^{2} = (a-\overline{CH})^{2}+h^{2} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbf{(1.2)}

Adesso consideriamo il triangolo ACH. Possiamo ricavare le lunghezze di h e di CH applicando i teoremi dei triangoli rettangoli:

h=bsin\gamma \\\,\\ \overline{CH} = bcos\gamma

sostituendo tali relazioni alla 1.2 otteniamo:

c^{2} = (a-bcos\gamma)^{2}+(bsin\gamma)^{2}  \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ c^{2} = a^{2}+b^{2}cos^{2}\gamma-2abcos\gamma +b^{2}sin^{2}\gamma \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ c^{2} = a^{2}+b^{2}(cos^{2}\gamma+sin^{2}\gamma)-2abcos\gamma 

ma poiché la somma dei quadrati del coseno e del seno di un angolo è pari a uno, possiamo scrivere:

c^{2} = a^{2}+b^{2}-2ab cos\gamma

Dimostrando così il teorema di Carnot. La dimostrazione può essere fatta in maniera similare per gli altri due lati del triangolo.

Dimostrazione con triangoli aventi uno degli angoli alla base ottuso

Consideriamo adesso un triangolo ottusangolo ABC con l’angolo ottuso alla base e tracciamo l’altezza h :

il triangolo AHB è un triangolo rettangolo. Applichiamo ad esso il teorema di Pitagora:

c^{2}=h^{2}+\overline{BH}^{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbf{(2.1)}

ma il lato BH è dato da:

\overline{BH} = \overline{BC}+\overline{CH} = a+ \overline{CH}

che possiamo quindi sostituire alla (2.1):

c^{2}=h^{2}+(a+\overline{CH})^{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbf{(2.2)}

Adesso consideriamo il triangolo rettangolo AHC. Possiamo anche qui utilizzare i teoremi dei triangoli rettangoli per ricavare le lunghezze dei cateti h e CH rispetto all’ipotenusa b. Abbiamo infatti che:

h = bsin(180-\gamma )\\\,\\ \overline{CH} = bcos(180-\gamma)

sostituiamo quanto ottenuto alla (2.2). Otteniamo:

c^{2} = b^{2}sin^{2}(180-\gamma) +a^{2}+b^{2}cos^{2}(180-\gamma)+2abcos(180-\gamma) \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ c^{2} = b^{2}[sin^{2}(180-\gamma)+ cos^{2}(180-\gamma)]+a^{2}+2abcos(180-\gamma) \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ c^{2} = b^{2}+a^{2}+2abcos(180-\gamma)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbf{(2.3)}

si noti che:

cos(180-\gamma) = -cos(\gamma)

dunque la (2.3) diviene:

c^{2} = a^{2}+b^{2}-2abcos\gamma

Ottenendo dunque quanto volevasi dimostrare.

Formule inverse per il calcolo degli angoli

Dal teorema di Carnot è possibile ricavare anche delle formule inverse per il calcolo degli angoli. Tali formule consentono di ricavare il valore di un angolo del triangolo se sono note le lunghezze di tutti e tre i lati:

cos\alpha = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,\alpha = arccos\left(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right) \\\,\\ cos\beta = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,\beta = arccos\left(\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\right)\\\,\\ cos\gamma = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,\gamma = arccos\left(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)
Esempi di esercizi

Esercizio 1

Dato un triangolo avente lati a=3cm, b= 6cm e angolo tra essi compreso pari a 15°, calcolare la lunghezza del lato c

Applichiamo il teorema di Carnot:

c^{2}= a^{2}+b^{2}-2abcos\gamma = 9+36-2*3*6cos15 = 45-36cos15 \approx 10,23cm^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ c= \sqrt{10,23} = 3,2cm

Esercizio 2

Sia dato un triangolo di lati a=4,58m b=5m e c=4m. Calcolare il valore degli angoli del triangolo

Applichiamo le formule inverse del teorema di Carnot per calcolare il valore dell’ampiezza degli angoli. Partiamo con l’angolo alfa

cos\alpha = \frac{c^{2}+b^{2}-a^{2}}{2bc} = \frac{4^{2}+5^{2}-4,58^{2}}{2*4*5} \approx \frac{16+25-21}{40}\approx \frac{20}{40}\approx\frac{1}{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \alpha \approx 60

proseguiamo con beta:

cos\beta = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac} = \frac{4,58^{2}+4^{2}-5^{2}}{2*4*4,58} \approx \frac{21+16-25}{36,64}\approx \frac{12}{36.64}\approx0,33 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \beta \approx arccos0,33 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\\beta \approx 70,72°

Adesso calcoliamo gamma:

\gamma = 180°-\alpha-\beta \approx 180°-60-70,72\approx 49,28°

Esercizio 3

Sia dato un triangolo con lati b=5cm, c=2cm e l’angolo fra essi compreso pari a 60°. Calcolare la lunghezza del terzo lato.

Applichiamo il teorema di Carnot:

a^{2} = b^{2}+c^{2}-2bccos\alpha = 25+4-20cos60 = 25+4-10=19 cm^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ a= \sqrt{19} \approx 4,35 cm
Teorema di Carnot o teorema del coseno