In questo appunto vediamo in cosa consiste il teorema delle proiezioni molto utile nei problemi di geometria sui triangoli. Per comprendere il teorema sulle proiezioni è necessario conoscere la funzione coseno ed i teoremi sui triangoli rettangoli. In particolare, in questo appunto vedremo:

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Enunciato del teorema delle proiezioni

Il teorema afferma che:

In un triangolo, ciascun lato è dato dalla somma del prodotto delle lunghezze degli altri due lati per il coseno dell’angolo che questi formano con il primo

Cerchiamo di comprendere meglio l’enunciato del teorema utilizzando la seguente figura:

teorema delle proiezioni, triangolo generico

Consideriamo ad esempio il lato BC con il quale il lato AB forma un angolo di ampiezza β ed il lato AC forma un angolo di ampiezza γ. Il teorema ci dice:

\overline{BC} = \overline{AB}cos(\beta) + \overline{AC}cos(\gamma)

Allo stesso modo è possibile scrivere la medesima relazione per gli altri due lati:

\overline{AB} = \overline{BC}cos(\beta) + \overline{AC}cos(\alpha) \\\,\\\overline{AC} = \overline{AB}cos(\alpha) + \overline{BC}cos(\gamma)

vediamo nel prossimo paragrafo come dimostrare il teorema delle proiezioni.

Dimostrazione del teorema delle proiezioni

Consideriamo ancora una volta il triangolo visto nel paragrafo precedente e dimostriamo il teorema per il lato BC. Per farlo, tracciamo l’altezza relativo a tale lato che parte dal vertice A:

dimostrazione teorema delle proiezioni

L’altezza H divide il triangolo nei due triangoli rettangoli ABH e AHC. Il lato BC di nostro interesso è diviso nei due segmenti BH e HC. Possiamo dunque scrivere il triangolo BC come somma di tali segmenti:

\overline{BC} = \overline{BH}+\overline{CH}

Consideriamo adesso il triangolo rettangolo AHC. Il segmento CH altro non è che il cateto di tale triangolo mentre il lato AC è l’ipotenusa. Per i teoremi dei triangoli rettangoli sappiamo che la lunghezza di un cateto è data dal prodotto che dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo che cateto e ipotenusa formano. Possiamo dunque scrivere:

\overline{CH}=\overline{AC}cos(\gamma)

Allo stesso modo, se consideriamo il triangolo rettangolo ABH di ipotenusa AB, possiamo scrivere:

\overline{BH} = \overline{AB}cos(\beta)

Possiamo adesso sostituire CH e BH nella formula di BC. Otteniamo:

\overline{BC} = \overline{BH}+\overline{CH} = \overline{AB}cos(\beta) +\overline{AC}cos(\gamma)

che è proprio quanto enunciato dal teorema delle proiezioni. Abbiamo dunque ottenuto quanto volevasi dimostrare. Per le formule degli altri due lati occorre procedere con delle dimostrazioni del tutto simili.

Si noti che il teorema delle proiezioni è abbastanza intuitivo nel caso di un triangolo acutangolo. Ma cosa accade nel caso di un triangolo ottusangolo?

Consideriamo il seguente triangolo:

teorema delle proiezioni per un triangolo ottusangolo

In questo caso il punto H è esterno al lato BC. Dunque questo non divide il lato BC in due parti. Possiamo però scrivere che la lunghezza di BC è data dalla differenza di BH e CH:

\overline{BC} = \overline{BH}-\overline{CH}

Consideriamo adesso il triangolo rettangolo ABH dove il lato AB è l’ipotenusa e BH è uno dei due cateti. Per il teorema dei triangoli rettangoli possiamo scrivere:

\overline{BH} = \overline{AB}cos(\beta)

consideriamo adesso il triangolo ACH. SI noti in questo caso che l’ipotenusa AC forma con il cateto CH un angolo pari a 180°- γ. Sempre per il teorema dei triangoli rettangoli, possiamo scrivere:

\overline{CH} = \overline{AC}cos(180°-\gamma)

Dunque possiamo riscrivere BC come:

\overline{BC} = \overline{BH}-\overline{CH} =  \overline{AB}cos(\beta) - \overline{AC}cos(180°-\gamma)

si ricordi tuttavia che per gli archi associati:

cos(180°-\gamma) = -cos(\gamma)

dunque la relazione diventa:

\overline{BC} =   \overline{AB}cos(\beta) - \overline{AC}cos(180°-\gamma) =  \mathbf{\overline{AB}cos(\beta) + \overline{AC}cos(\gamma)}

risulta dunque dimostrato il teorema delle proiezioni anche nel caso di un triangolo ottusangolo!

Triangoli particolari

Vediamo in questo paragrafo quali forme assume il teorema nel caso di triangoli particolari.

Cateto di un triangolo rettangolo

Se ci troviamo nella situazione di voler calcolare il cateto di un triangolo rettangolo bisogna ricordare che l’angolo che il secondo cateto forma con esso è di 90°:

Applicando dunque il teorema delle proiezioni al cateto BC otteniamo:

\overline{BC} =\overline{AC}cos(\gamma) + \overline{AB}cos(\beta) =\overline{AC}cos(90°) + \overline{AB}cos(\beta) 

ma poiché il coseno di 90° è pari a zero, la formula diventa:

\overline{BC} = \overline{AB}cos(\beta) 

che è quanto enunciato dai teoremi dei triangoli rettangoli.

Base di un triangolo isoscele

Consideriamo un triangolo isoscele in cui la base è il lato diverso dagli altri due. In questo caso gli angoli che gli altri due lati formano con la base sono identici:

dunque i due angoli β e γ e i due lati AB e BC sono congruenti. Applichiamo il teorema alla base e consideriamo tali uguaglianze:

\overline{BC} =\overline{AC}cos(\gamma) + \overline{AB}cos(\beta) =2\overline{AC}cos(\beta) 

Nel caso particolare di un triangolo equilatero β e γ sarebbero di 60°:

\overline{BC} =\overline{AC}cos(\gamma) + \overline{AB}cos(\beta) =2\overline{AC}cos(60°) = 2\overline{AC}\frac{1}{2}=\overline{AC}

otterremmo dunque che la base sarebbe uguale agli altri due lati. Questo risultato non ci sorprende in quanto abbiamo a che fare con un triangolo equilatero!

Esempio di esercizio

Calcolare il lato l1 di un triangolo sapendo che gli altri due lati misurano rispettivamente l2=32 e l3=47.8 cm. Questi ultimi due lati formano con il primo due angoli rispettivamente di ampiezza β=120° e γ=35,3° gradi.

Per risolvere l’esercizio occorre utilizzare il teorema delle proiezioni:

l_{1} =l_{2}cos\beta+l_{3}cos\gamma = 32°cos120°+47,8cos35,3° \approx -16+39 \approx 23cm

 

Teorema delle proiezioni