In questo appunto vediamo in cosa consiste il teorema della corda molto diffuso nei problemi di geometria sulla circonferenza e sui triangoli. Per comprendere il contenuto di questo appunto è necessario avere familiarità con gli elementi di una circonferenza, in particolare con la corda, il raggio e gli angoli alla circonferenza, e con le funzioni goniometriche seno e coseno. In particolare in questo appunto vedremo:
- Enunciato del teorema della corda
- Dimostrazione del teorema della corda
- Applicazione del teorema ai triangoli
- Esempio di esercizio
Per ulteriori argomenti di trigonometria e goniometria ti rimandiamo al relativo indice degli argomenti
Enunciato del teorema della corda
Il teorema della corda afferma che:
La lunghezza di una corda di una circonferenza è data dal prodotto del diametro della circonferenza per il seno di uno qualsiasi degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda
Consideriamo dunque la seguente circonferenza su cui identifichiamo una generica corda che indichiamo con AB
Il teorema ci dice che la lunghezza della corda AB è data dal prodotto del diametro della circonferenza (di seguito indicheremo il diametro con 2r) per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda stessa. Nella figura abbiamo diviso l’intera circonferenza in due archi indicati rispettivamente l1 e l2 e sono i due archi in cui la circonferenza è divisa dalla corda AB. Si ricordi che una delle proprietà degli archi alla circonferenza è che:
Tutti gli archi alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali tra loro.
Ne consegue quindi, che tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sull’arco l1 avranno ampiezza β, mentre tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sull’arco l2 avranno ampiezza α.
Algebricamente dunque il teorema ci dice che:
{\color{Blue} \mathbf{AB= 2rsin \alpha}}
ma vale anche la relazione:
{\color{Blue} \mathbf{AB=2rsin\beta}}
dunque ne consegue che pur essendo α e β diversi tra loro, sussiste la relazione:
sin\alpha = sin\beta
ciò accade perché i due angoli α e β sono supplementari (il perché nel prossimo paragrafo)! Infatti possiamo scrivere:
\alpha + \beta = 180° \Rightarrow \beta=180°-\alpha
dunque riprendiamo il seno dell’angolo β, possiamo scriverlo come:
sin\beta = sin (180°-\alpha)
ma per gli archi associati:
sin\beta = sin (180°-\alpha)=sin\alpha
Dimostrazione del teorema della corda
Dimostriamo adesso il teorema visto nel paragrafo precedente. Partiamo subito dal caso limite in cui la corda AB coincide con il diametro della circonferenza stessa:
Si ricordi che un angolo alla circonferenza che insiste su di un triangolo è sempre un angolo retto. Proviamo dunque ad applicare il teorema:
\overline{AB}=\overline{AB}sin(A\widehat{C}B)=\overline{AB}sin(90)= \overline{AB}
abbiamo dunque verificato che poiché il seno di un angolo retto vale 1, il teorema è valido anche se la corda coincide con il diametro. Abbiamo dunque verificato il teorema in un caso particolare, ma non lo abbiamo ancora dimostrato.
Lo facciamo adesso considerando una generica corda AB che sia diversa dal diametro. Tracciamo inoltre anche il diametro della circonferenza avente come uno dei vertici il punto A della corda:
Possiamo fare dunque le seguenti considerazioni:
- Essendo AC il diametro, il triangolo ABC è un triangolo rettangolo dove il diametro AC è l’ipotenusa e la corda AB è uno dei cateti. Uno dei teoremi sui triangoli rettangoli ci dice che il cateto di un angolo rettangolo è dato dal prodotto dell’ipotenusa del triangolo per il seno dell’angolo opposto al cateto. Possiamo dunque scrivere:
\overline{AB} = \overline{AC}sin{A\widehat{C}}B
- ma l’angolo in C è uno degli infiniti angoli alla circonferenza che insistono sull’arco L1. Possiamo dunque riscrivere la relazione come:
\overline{AB} = \overline{AC}sin\beta =2rsin\beta
che è proprio la relazione che si voleva dimostrare. Consideriamo adesso l’angolo α e ci chiediamo se anche per esso è possibile dimostrare il teorema. Per farlo, consideriamo il quadrilatero ADBE. Tale quadrilatero è inscritto nella circonferenza e come tale gli angoli che appartengono a tale quadrilatero e che sono opposti tra loro sono anche supplementari. Ne risulta dunque che:
\alpha + \beta = 180°
per le formule degli archi associati:
sin\alpha= sin (180°-\beta) = sin\beta
per cui il teorema risulta comunque dimostrato:
\overline{AB} = \overline{AC}sin\beta =2rsin\alpha
Applicazione del teorema ai triangoli
Il teorema della corda è un teorema molto utile nella risoluzione dei problemi di geometria. In particolare, dato un generico triangolo e noto il diametro della circonferenza in cui tale triangolo è inscritto, è possibile applicare il teorema della corda per calcolare la lunghezza di uno dei lati del triangolo.
In un triangolo qualsiasi la lunghezza di un lato è data dal prodotto del diametro della circonferenza in cui il triangolo è inscritto, per il seno dell’angolo opposto al lato.
Consideriamo il generico triangolo ABC:
possiamo dunque scrivere le seguenti relazioni:
\overline{AB } =2r sin\gamma \\\,\\ \overline{BC } =2r sin\alpha \\\,\\ \overline{AC } =2r sin\beta
Esempio di esercizio
Sia dato un generico triangolo ABC ottusangolo in β inscritto in una circonferenza di raggio 3cm. Sapendo che il lato AB misura 3 cm e che l’angolo BC misura 4,2 cm, calcolare il perimetro del triangolo
Nota: la notazione degli angoli e dei lati utilizzata in questo esercizio è tale che α sia l’angolo opposto a BC, β sia l’angolo opposto ad AC e γ sia l’angolo opposto ad AB.
Per calcolare il perimetro del triangolo è necessario calcolare la lunghezza del lato AC in quanto gli altri due lati sono noti. Non possiamo utilizzare il teorema della corda per calcolare AC in quanto non conosciamo il valore dell’angolo opposto. Possiamo però applicare il teorema per conoscere gli angoli opposti agli angoli noti. Consideriamo ad esempio il teorema applicato al lato AB:
\overline{AB}=2rsin \gamma \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ sin\gamma = \frac{\overline{AB}}{2r}= \frac{3}{2*3}=\frac{1}{2}\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \gamma_{1} = 30°\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \gamma_{2} = 150°
Abbiamo dunque due soluzioni per γ. La traccia del problema ci dice però che il triangolo è ottusangolo in β. Ne consegue dunque che l’angolo γ debba essere acuto. Dunque la soluzione da considerare è γ=30°. Eseguiamo la stessa operazione sul lato BC:
\overline{BC}=2rsin \alpha \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ sin\alpha = \frac{\overline{BC}}{2r}= \frac{4,2}{2*3}=0,7 \approx \frac{\sqrt{2}}{2}\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \alpha_{1} \approx 45°\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \alpha_{2} \approx 145°
Anche in questo caso, la soluzione da considerare è quella per la quale α è un angolo acuto.
Adesso, poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, possiamo calcolare il valore di β:
\beta= 180°-\alpha-\gamma \approx 180°-30°-45°\approx 105°
calcoliamo adesso la lunghezza del lato AC, applicando il teorema della corda:
\overline{AC}= 2rsin\beta = 2*3 sin(105) \approx 5,8 cm
possiamo adesso calcolare il perimetro del triangolo:
P = \overline{AB} +\overline{BC} +\overline{AC} = 3+4,2+5,8 = 13cm
Il triangolo ha un perimetro di 13 cm.
