In questo appunto vediamo l’enunciato del teorema dei seni con la sua dimostrazione. Per poter comprendere a pieno il teorema dei seni è necessario avere familiarità con il teorema della corda e con la funzione seno. In questo appunto in particolare vedremo:
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Enunciato del teorema dei seni
Il teorema afferma che:
In un qualsiasi triangolo, il rapporto tra la lunghezza di un lato ed il seno dell’angolo ad esso opposto è costante.
Dire che il rapporto tra la lunghezza di un lato ed il seno dell’angolo ad esso opposto è costante, significa dire che tale rapporto è uguale per tutti e tre i lati! Per capire ancora meglio l’enunciato del teorema dei seni, consideriamo il seguente triangolo:
il teorema ci dice quindi che:
\frac{\overline{AB}}{sin(\gamma)}=\frac{\overline{BC}}{sin(\alpha)}=\frac{\overline{AC}}{sin(\beta)}=k
Si noti che essendo il seno di un angolo adimensionale, la costante k ha la stessa unità di misura utilizzata per misurare la lunghezza dei lati del triangolo. Dunque anche k rappresenta una lunghezza. Questo teorema è molto significativo in quanto consente di risolvere parecchi problemi di geometria e trigonometria. Basta conoscere l’ampiezza di due angoli e la lunghezza di uno solo dei lati del triangolo, per stimare le lunghezze di tutti gli altri lati!
Dimostrazione del teorema dei seni
Adesso dimostriamo il teorema dei seni partendo da una proprietà di tutti i triangoli. In ognuno di essi è infatti possibile definire un circocentro (punto di incontro degli assi di un triangolo) e quindi una circonferenza in cui il triangolo è inscritto:
adesso consideriamo ciascuno lato come una delle corde della circonferenza. Per ciascun lato, l’angolo opposto del triangolo rappresenta un angolo alla circonferenza. Il teorema della corda ci dice che la lunghezza di una corda della circonferenza è data dal prodotto del diametro della circonferenza (che indicheremo con 2r) per il seno di uno qualsiasi degli angoli alla circonferenza. Dunque possiamo scrivere per ciascun lato:
\overline{AB}=2r sin(\gamma) \\\,\\ \overline{BC}=2r sin(\alpha) \\\,\\ \overline{AC}=2r sin(\beta)
si noti che dividendo per ciascuna equazione riportata sopra entrambi i membri per il seno dell’angolo, otteniamo per tutte le equazione al secondo membro 2r ovvero la lunghezza del diametro:
\frac{\overline{AB}}{sin(\gamma)}= 2r\\\,\\\frac{\overline{BC}}{sin(\alpha)}=2r\\\,\\\frac{\overline{AC}}{sin(\beta)}=2r
Abbiamo dunque dimostrato il teorema dei seni secondo il quale il rapporto di ciascun lato di un triangolo qualsiasi con il seno dell’angolo ad esso opposto è una costante e tale costante è il diametro della circonferenza in cui è possibile inscrivere il triangolo! Dunque, possiamo riscrivere il teorema nel seguente modo:
\frac{\overline{AB}}{sin(\gamma)}=\frac{\overline{BC}}{sin(\alpha)}=\frac{\overline{AC}}{sin(\beta)}=2r
Esempio di esercizio
Sia dato un triangolo acutangolo di cui sono note le ampiezze di due angoli (α = 60° e β= 75°) e la lunghezza del lato opposto(AB) al terzo angolo (4m). Applicare il teorema dei seni per calcolare la lunghezza degli altri due lati.
Il problema non fornisce da principio alcuna coppia lato-angolo opposto per applicare il teorema. E’ necessario quindi calcolare il terzo angolo che indicheremo con γ considerando che la somma interna degli angoli di un triangolo è 180°:
\gamma = 180°-\alpha-\beta= 180°-60°-74° = 45°
Possiamo adesso calcolare il rapporto tra il lato AB ed il seno di γ per identificare la costante del teorema dei seni, ovvero il diametro nel quale il triangolo è inscritto:
2r= \frac{\overline{AB}}{sin(\gamma) } =\frac{4}{sin(45) } \approx 5,66m
possiamo adesso calcolare la lunghezza degli altri lati del triangolo considerando ancora un volta il teorema:
\frac{\overline{BC}}{sin(\alpha)} =2r \approx 5,66m \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \overline{BC} \approx 5,66sin(60) \approx 4,9m
\frac{\overline{AC}}{sin(\beta)} =2r \approx 5,66m \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \overline{AC} \approx 5,66sin(75) \approx 5,46m
Abbiamo dunque calcolato le lunghezze di tutti e tre i lati!
