In questo appunto diamo una definizione dei termini spostamento, velocità media e velocità scalare media essenziali per comprendere a fondo le leggi della cinematica. Si tratta di termini che utilizziamo nella vita di tutti i giorni e per i quali potrebbe sembrare superfluo dover dare una definizione. Vedremo che in realtà non è così e che le definizioni fisiche contrastano con il nostro modo di descrivere quotidianamente queste grandezze.

Per poter comprendere al meglio il contenuto di questo appunto ti consigliamo di approfondire innanzitutto la differenza tra grandezze scalari e grandezze vettoriali e la definizione dei vettori e le loro proprietà. Di seguito vedremo dunque le definizioni di:

In un altro appunto parleremo invece della velocità istantanea. Per ulteriori appunti di fisica I e di cinematica ti indirizziamo al seguente link.

Definizione di spostamento

Conoscere la legge oraria di un oggetto significa conoscere la legge che definisce la posizione di un oggetto in qualsiasi istante di tempo. Ricordiamo che la posizione di un oggetto è una grandezza vettoriale che definisce l’esatta collocazione nello spazio di un oggetto rispetto ad un sistema di riferimento:

spostamento

Nel determinare la legge oraria del moto di un oggetto siamo quindi interessati ad osservare come varia la sua posizione nel tempo. Consideriamo dunque due istanti nel tempo che indicheremo con t0 e t1 ed osserviamo la posizione del corpo nello spazio che indicheremo con un generico vettore r. Avremo dunque la seguente tabella:

dunque nell’intervallo di tempo Δt = t0 – t1 il corpo ha variato la sua posizione. Tale variazione di posizione è detta spostamento e la indicheremo con la notazione Δr:

\overrightarrow{\Delta r} = \overrightarrow{r_{t_{1}}}-\overrightarrow{r_{t_{0}}}

dunque lo spostamento è la differenza vettoriale di due vettori posizione. Se rappresentiamo ciascun vettore posizione in funzione delle sue componenti:

\overrightarrow{r_{t_{0}}}=(x_{t_{0}},y_{t_{0}},z_{t_{0}}) \\\,\\\overrightarrow{r_{t_{1}}}=(x_{t_{1}},y_{t_{1}},z_{t_{1}})

Allora anche lo spostamento Δr potrà essere scritto come:

\overrightarrow{\Delta r} = (x_{t_{0}}-x_{t_{1}},y_{t_{0}}-y_{t_{1}},z_{t_{0}}-z_{t_{1}})

Dunque ciascun componente del vettore differenza è rappresentato dalla differenza delle componenti dei vettori posizione iniziale e finale. Il segno di ciascun componente dipende dal fatto che rispetto alla coordinata, ad esempio l’ascissa x, l’oggetto si sia mosso rispetto alla sua posizione iniziale nel verso in cui l’ascissa progredisce (spostamento positivo) o nel verso in cui l’ascissa regredisce (spostamento negativo). Dunque il segno dipende dal movimento rispetto al sistema di riferimento scelto per analizzare il moto.

Si noti , inoltre, che lo spostamento non è la distanza totale percorsa! Questo concetto è fondamentale da capire per poterne comprendere il significato. L’utilizzo del termine spostamento nella lingua utilizzata tutti i giorni non ci aiuta a capire il motivo di questa affermazione. Entrambe le grandezze, spostamento e distanza percorsa, sono definiti dimensionalmente da L e quindi sono misurabili in metri, chilometri, centimetri etc.. La differenza principale è che lo spostamento è una grandezza vettoriale definita da modulo, direzione e verso, mentre la distanza percorsa è una grandezza scalare. Nel seguito proporremo due esempi per semplificare la comprensione della differenza tra queste due grandezze

Esempio 1

Siano dati due punti A e B corrispondenti al punto di partenza ed al punto di arrivo di un oggetto in movimento e tre diversi percorsi, indicati con i colori rosso, verde e blu che l’oggetto può compiere per raggiungere il punto finale B.

spostamento e distanza percorsa

Il vettore spostamento Δr (vettore nero) nulla ci dice sul percorso scelto per passare dal punto A al punto B, ma ci fornisce solo la direzione, il verso ed il modulo della variazione di posizione. Da questo punto di vista, il percorso blu, il percorso verde ed il percorso rosso sono del tutto equivalenti. Qualsiasi percorso venga scelto, lo spostamento rimane il medesimo! Si noti tuttavia che la distanza totale percorsa è diversa per ciascun percorso. Nel percorso rosso, l’oggetto deve muoversi su di un tratto più lungo per poter raggiungere il punto finale B rispetto agli altri due.

Esempio 2

Un caso particolare dell’esempio 1 è il caso di un corpo che partendo da un punto A compie un percorso e ritorna nella sua posizione iniziale. In questo caso si dice che lo spostamento è nullo. Pensiamo ad esempio ad una nave che parte dal porto di Bari, esegue il giro del mondo e poi ritorna nuovamente dopo 130 giorni al porto di Bari. Lo spostamento percorso dalla nave è nullo!

Così presentato lo spostamento sembra essere una grandezza priva di utilità pratica in quanto ci fornisce solo l’esito del movimento ma non ci fornisce informazioni sulle caratteristiche del moto. In realtà non è così perché per studiare approfonditamente un moto, in generale, occorre osservare la posizione del corpo a seguito del trascorrere di piccoli intervalli di tempo uguali tra loro. Per cui il percorso:

se studiato in intervalli di tempo piccoli tra loro, diventa:

Studiare il moto in questo modo ci consente di ottenere le informazioni sulle posizioni intermedie dell’oggetto e quindi non di concentrarci al solo punto iniziale e finale. E’ possibile anche ricostruire il percorso. Inoltre, se osservato ad intervalli di tempo uguali tra loro, possiamo osservare ad esempio spostamenti di lunghezza. Vedremo nei prossimi paragrafi come il concetto di velocità esprimerà al meglio questa caratteristica.

Velocità media

Abbiamo visto nel paragrafo precedente che osservando il moto di un corpo ad intervalli di tempo regolari, possiamo monitorare come evolve la posizione del corpo stesso nel tempo e quindi i singoli spostamenti. Può accadere che ad intervalli di tempo uguali corrispondano spostamenti più o meno lunghi. Il rapporto tra lo spostamento e l’intervallo di tempo durante il quale lo spostamento è avvenuto prende il nome di velocità media:

\overrightarrow{\overline{v}} = \frac{\overrightarrow{\Delta r}}{\Delta t}

si noti che essendo la velocità media il rapporto tra una grandezza vettoriale (lo spostamento) ed una grandezza scalare (l’intervallo di tempo), è essa stessa una grandezza vettoriale la cui dimensione è L/T e la cui unità di misura può essere espressa in diverse forme, le cui più comuni sono metri al secondo o chilometri orari. Essendo dunque una grandezza vettoriale, la velocità è definita se è definita il suo modulo, la sua direzione ed il suo verso. Se consideriamo adesso le componenti dello spostamento lungo i tre assi:

 

\Delta r = \Delta x \widehat{i}+\Delta y \widehat{j}+\Delta z \widehat{k}

on i, j e k che rappresentano i versori degli assi cartesiani. La velocità media allora può essere scomposta nelle sue componenti cartesiane:

\overrightarrow{\overline{v}} =\frac{\Delta x}{\Delta t}\widehat{i}+\frac{\Delta y}{\Delta t}\widehat{j}+\frac{\Delta z}{\Delta t}\widehat{k}  = \overline{v_{x}}\widehat{i}+\overline{v_{y}}\widehat{j}+\overline{v_{z}}\widehat{k} 

Il segno della velocità media dipende dal segno dello spostamento, che a sua volta, dipende dal sistema di riferimento scelto (ricordiamo infatti che l’intervallo di tempo Δt è uno scalare sempre positivo in quanto il tempo scorre in avanti). Come lo spostamento, la velocità media è tale che:

  • Se tre oggetti si muovono da un punto A ad un punto B seguendo tre percorsi di lunghezza differente ma compiendoli nello stesso intervallo di tempo, la velocità media non cambia. Immaginiamo ad esempio di avere tre navi che partono dal porto di Bari per arrivare al porto di Genova. La prima nave ci arriva senza eseguire alcuna fermata intermedia. La seconda nave allunga il suo percorso verso Malta per poi procedere in direzione Genova. La terza nave deve passare per l’Albania, poi per la Tunisia ed infine entra nel porto di Genova. Immaginiamo che tutte e tre le navi ci abbiano impiegato esattamente una settimana. La velocità media delle tre navi è esattamente identica!
  • La velocità media di un corpo che in un determinato intervallo di tempo torna nella sua posizione di partenza è nulla. Immaginiamo ad esempio il caso di una Ferrari che compie il giro record di un gran premio. La sua velocità media nel compiere un intero giro è nulla!

Questa definizione di velocità media cozza però con il concetto di uso comune della realtà di tutti i giorni. Capiremo meglio questo aspetto nel prossimo paragrafo. Terminiamo il seguente paragrafo con un ultimo aspetto della velocità media. Per semplicità di esposizione, riferiamoci al caso semplice di un moto unidirezionale (moto che non si sviluppa nell’intero spazio ma solo lungo una direzione). Riportiamo la posizione dell’oggetto in movimento ad ogni istante di tempo:

velocità media

Immaginiamo di essere interessati a definire le caratteristiche del moto dal punto A al punto B e dal punto B al punto C.

Per ciascun tratto lo spostamento è la variazione della posizione. Dunque, per il tratto A-B questo sarà:

\Delta x = x_{f} -  x_{i} = 6-8 =-2m

invece per il tratto BC invece sarà:

\Delta x =  x_{f} -  x_{i} = 10-6 =4m

L’intervallo di tempo sarà invece dato dall’istante in cui l’oggetto si trova nel punto finale meno l’istante in cui l’oggetto si trova nell’istante iniziale. Dunque avremo:

\Delta t_{AB} = t_{B}-t_{A} = 4-2 = 2s \\\,\\ \Delta t_{BC}= t_{C}-t_{B} = 11-4 = 7s

Ma a cosa corrisponde la velocità media? Graficamente la velocità media è la pendenza o coefficiente angolare del tratto che unisce nel grafico il punto iniziale con il punto finale. Ricordiamo che la pendenza si misura come la tangente dell’angolo che il tratto forma con l’asse orizzontale ed è tale da essere positiva per angoli compresi tra 0 e 90° in senso antiorario e negativa per angoli compresi tra 0° e 90° in senso orario.

Dunque, poiché il tratto rosso AB forma un angolo negativo con l’asse orizzontale, ci aspettiamo una velocità media negativa. Ed infatti:

\overline{v_{x}} = \frac{\Delta x}{\Delta t}= \frac{-2 }{2} =-1m/s

mentre per il tratto BC, avremo:

\overline{v_{x}} = \frac{\Delta x }{\Delta t}= \frac{4 }{7} =0,57m/s

che è una velocità positiva, come ci aspettavamo osservando la pendenza del tratto BC.

Velocità scalare media

La definizione di velocità media data nel paragrafo precedente è in forte contrasto con l’idea che ci siamo fatti nella vita di tutti i giorni con il concetto di velocità. Ci sembra assurdo ad esempio dire che una Ferrari che compie il giro record in un gran premio abbia avuto una velocità media nulla. A cosa è dovuto quindi questo disallineamento tra l’uso quotidiano del concetto di velocità e la definizione appena data di velocità media? La risposta è che stiamo parlando di due concetti differenti. Quando abbiamo parlato di spostamento abbiamo detto che:

spostamento\neq distanza\,percorsa

lo spostamento è infatti una grandezza vettoriale mentre la distanza percorsa è una grandezza scalare. Dividiamo spostamento e distanza percorsa per l’intervallo di tempo in cui sono misurate. Otteniamo:

\frac{spostamento}{\Delta t} \neq \frac{distanze\, percorsa}{\Delta t}

dove il primo termine è la velocità media definita nel paragrafo precedente. Ma cosa si intende con il secondo termine? Il secondo termine è ancora una velocità e la sua dimensione come la velocità media è ancotra L/T o LT-1. Però questa seconda velocità è una grandezza scalare, detta appunto velocità scalare media, ed è la velocità a noi familiare nella vita di tutti i giorni.

Ritornando all’esempio della nostra Ferrari. Al termine del suo giro record, questa avrà una velocità media nulla ed una velocità scalare media di 260km/h (dato indicativo).

Spostamento, velocità media e velocità media scalare
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