Concludiamo il nostro percorso sulla parabola con la dimostrazione della capacità di uno specchio parabolico di riflettere tutti i raggi paralleli al suo asse di simmetria nel suo fuoco. Per eseguire questa dimostrazione considereremo diversi concetti di geometria analitica ed utilizzeremo la parabola come riferimento. In particolare vedremo:

Breve introduzione sullo specchio parabolico

Uno specchio parabolico è uno specchio che ha la forma di un paraboloide, ovvero di una figura tridimensionale ottenuta facendo ruotare una parabola intorno al proprio asse di simmetria. Qualsiasi sezione di uno specchio parabolico eseguita con un piano passante per l’asse di simmetria dello specchio è dunque una parabola.

Questo specchio ha la particolarità di riflettere tutti i raggi luminosi paralleli al suo asse di simmetria nel suo fuoco:

Si narra che Archimede Pitagorico abbia utilizzato un sistema di specchi parabolici per concentrare i raggi del sole sulle navi romane e bruciarle durante l’assedio di Siracusa del 212 a.c. La capacità di questi specchi di concentrare l’energia solare in un punto è tutt’oggi sfruttata in applicazioni in cui si vuole riscaldare una cisterna o dei tubi contenenti acqua. Nel video proposto sotto, il riscaldamento di un tubo di rame pieno di acqua avviene utilizzando uno specchio la cui forma segue quella di una parabola lungo i piani perpendicolari alla direzione del tubo. Questo consente ad ogni punto del tubo di essere il fuoco di una parabola:

Nel prossimo paragrafo vedremo una dimostrazione di questo effetto utilizzando alcuni principi di geometria analitica e considerando una parabola all’interno di un piano cartesiano.


Dimostrazione che un raggio parallelo all’asse di simmetria è riflesso nel fuoco della parabola

Consideriamo una generica parabola con asse di simmetria verticale di equazione:

con il fuoco aventi quindi  coordinate

Si ricorda che al diminuire del valore del coefficiente a e quindi all’aumentare dell’ampiezza della parabola, il fuoco si allontana dal vertice. Alla parabola la generica retta y=mx+q risulta esserne tangente nel punto P(x1,y1). Vediamo cosa succede se applichiamo le leggi della riflessione al punto di tangenza P quando ad esso è incidente un raggio parallelo all’asse di simmetria della parabola (in azzurro nella figura sotto).

specchio parabolico, riflessione dei raggi

La retta tangente (in arancione) alla parabola forma un angolo pari ad α con l’asse delle x. Ricordiamo che il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola sia pari alla tangente dell’angolo α:

 

Il raggio luminoso (in blu chiaro) formerà un angolo di 90° con l’asse delle ascisse e di conseguenza un angolo pari a 90°-α con la retta tangente alla parabola. Poiché nell’intorno del punto di tangenza, la parabola può essere approssimata con la retta ad essa tangente, il raggio luminoso incidente nel punto P sarà riflesso secondo le regole della riflessione rispetto al piano contenente la retta e perpendicolare al piano cartesiano. Ne consegue che, il raggio luminoso formerà un angolo pari ad α rispetto alla perpendicolare a tale piano e sarà riflesso con lo stesso angolo dall’altro lato della perpendicolare. Il raggio luminoso adesso formerà un angolo con l’asse delle ascisse che chiameremo β pari a:

quindi il raggio luminoso riflesso può essere rappresentato da una retta avente come coefficiente angolare la tangente dell’angolo β e passante per il punto di tangenza P. Indicheremo tale coefficiente angolare con mr dove r indica il raggio riflesso:

questo vuol dire che mr=0 quando α = 45°. Utilizzando la formula per angoli anticomplementari (angoli che differiscono di un angolo retto) otteniamo:

applichiamo la formula di duplicazione della tangente:

con:

Otteniamo dunque:

abbiamo dunque una relazione che definisce il coefficiente angolare del raggio riflesso a partire da quello della retta tangente al punto di riflessione. Facciamo alcune considerazioni:

  • se m=0 abbiamo che la retta tangente è parallela all’asse delle x. Questo accade quando il punto di tangenza è il vertice della parabola e il raggio incidente segue l’asse di simmetria della parabola. La formula non ci da un valore del coefficiente angolare del raggio riflesso. Questo accade perché il raggio è riflesso ancora lungo l’asse di simmetria. Sappiamo infatti che per rette verticali non esiste un coefficiente angolare
  • se m=1 e quindi il raggio viene riflesso in un punto della parabola in cui la retta tangente forma un angolo di 45° con l’asse delle x, il raggio è riflesso parallelo all’asse delle x (mr=0)

Abbiamo quindi trovato una formula per il coefficiente angolare del raggio riflesso, ma non abbiamo ancora dimostrato che il raggio riflesso passa per il fuoco. Adesso calcoliamo l’equazione della retta che passa per il fuoco e per il punto di tangenza. Per farlo occorre calcolare innanzitutto le coordinate del punto di tangenza P. Esse saranno date dalla risoluzione del sistema di equazioni dato dall’equazione della parabola e dall’equazione della retta:

applichiamo il metodo di sostituzione:

riorganizziamo l’equazione ottenuta:

si tratta di un’equazione di secondo grado, i cui coefficienti sono:

  • a’=a
  • b’=b-m
  • c’=c-q

Individuiamo le due soluzioni:

dove Δ’ è pari a:

per la condizione di tangenza di una retta rispetto ad una parabola il delta deve essere nullo e le due soluzioni sono reali e coincidenti. Avremo dunque che:

Calcoliamo adesso il valore dell’ordinata di tale punto utilizzando l’equazione generica della retta:

ordinata punto tangenza specchio parabolico

il punto P ha dunque coordinate:

calcoliamo adesso l’equazione della retta passante per i punti P ed F, applicando la formula dell’equazione di una retta passante per due punti:

sostituiamo i valori delle coordinate del fuoco della parabola e del punto P. Otteniamo:

riorganizziamo adesso il denominatore del primo membro. Troveremo nuovamente il valore Δ’ che per la condizione di tangenza deve essere nullo:

con m che deve essere diverso da 0, +1 e -1. Riorganizziamo l’equazione in forma esplicita:

equazione raggio riflesso da specchio parabolico

abbiamo dunque ottenuto l’equazione di una retta il cui coefficiente angolare è pari a quello calcolato in precedenza per il raggio riflesso. Possiamo quindi concludere che qualsiasi raggio parallelo all’asse di simmetria è riflesso dalla parabola e passa per il fuoco. Da notare che se il raggio incidente passa per il punto P la cui retta tangente ha coefficiente angolare m=1 o -1, essa viene riflessa perpendicolare alla sua direzione iniziale. Ciò accade quando il punto P ha la stessa ordinata del fuoco F.

Conclusioni

Uno specchio parabolico ha quindi la caratteristica di concentrare in un punto, il suo fuoco, tutta la luce parallela al suo asse di simmetria ad essa incidente. Questa caratteristica consente di concentrare in questo punto molta energia ed è per questo motivo che specchi parabolici vengono utilizzati nel campo delle energie rinnovabili (solar parabolic concentrator). Come abbiamo visto nel video allegato, per poter riscaldare uniformemente un tubo di rame si preferisce utilizzare uno specchio non completamente parabolico ma con un design tale da concentrare la luce in qualsiasi punto del tubo. Il concetto di funzionamento alla base rimane però lo stesso.

Specchio parabolico e fuoco di una parabola
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