In questo appunto vediamo in cosa consiste l’operazione di somma vettoriale dandone una definizione e mostrandone degli esempi. Abbiamo già dato la definizione di vettore e delle sue proprietà al seguente link. Qui ci limiteremo a:

Per altri appunti di fisica I ti rimandiamo all’indice generale.

Definizione di somma vettoriale

Per somma vettoriale si intende un’operazione che può essere eseguita tra due o più vettori e che restituisce un vettore detto risultante. Si consideri di avere i seguenti due vettori nello spazio:

\overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} 

la loro somma vettoriale restituirà un terzo vettore w. L’operazione ed il vettore risultante possono essere indicati con la seguente notazione:

\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} 

Possiamo rappresentare graficamente la somma vettoriale attraverso una rappresentazione detta “punta coda” nella quale i due vettori oggetto della somma sono posizionati, con opportuna traslazione, in maniera consequenziale con la coda del secondo che coincide con la punta del primo. Il vettore risultante avrà la coda del primo e la punta del secondo:

somma vettoriale: rappresentazione punta-coda

 

Vediamo adesso quali sono le proprietà di questa operazione tra vettori

Proprietà della somma vettoriale

Proprietà commutativa

La somma vettoriale gode della proprietà commutativa. Infatti, si può dimostrare che:

\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}  = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} 

dunque cambiando l’ordine degli addendi, il risultato non cambia. Immaginiamo di aggiungere alla figura precedente nuovamente i due vettori ma questa volta traslati in maniera tale da invertire la loro posizione. Si può facilmente dimostrare che il quadrilatero ottenuto è un parallelogramma di cui il vettore risultato della somma vettoriale è la diagonale:

somma vettoriale: rappresentazione con metodo del parallelogramma

Questo metodo è detto metodo del parallelogramma. Il metodo del parallelogramma consente di disegnare il vettore risultante dalla somma vettoriale di due vettori aventi la coda che giace sullo stesso punto detto punto di applicazione. Il metodo consiste nel tracciare la retta parallela a ciascun vettore e passante per la punta del secondo. Il vettore risultante avrà lo stesso punto di applicazione dei vettori addendi e la sua punta giacerà sul punto di intersezione delle due rette parallele:

 

 

Proprietà associativa

La somma vettoriale gode della proprietà associativa. Si può infatti dimostrare che:

( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})+ \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u}  +( \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w)}  

Verifichiamo graficamente questa proprietà:

proprietà associativa nella somma tra vettori

come si vede dall’immagine sopra il vettore risultante è lo stesso (in verde) sia sia che si sommi (u+v) al vettore w sia che si sommi il vettore u ad (u+w). Si noti che:

anche quando la somma coinvolge più di due vettori, se questi sono posizionati in modo consequenziale, il vetture risultante avrà la punta che coincide con la punta dell’ultimo vettore e la coda coincidente con la coda del primo vettore.

Proprietà distributiva

La somma vettoriale gode della proprietà distributiva rispetto al prodotto per uno scalare. Dunque è possibile scrivere la relazione:

\lambda(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) = \lambda\overrightarrow{u} + \lambda\overrightarrow{v}

dove con il simbolo lambda è stato indicato lo scalare.

Somma con vettore opposto

La somma di un vettore con il suo opposto è il vettore nullo:

\overrightarrow{v} +(-\overrightarrow{v})=0 \\\,\\ \overrightarrow{v}-\overrightarrow{v}=0

Vettore nullo

Il vettore nullo è il vettore per il quale l’operazione di somma è neutra. Questo vuol dire che sommando ad un vettore il vettore nullo si ottiene come vettore risultante il vettore iniziale:

\overrightarrow{v} + 0 =\overrightarrow{v}
Calcolo del modulo o della norma del vettore risultante nel caso di sistemi cartesiani

In questo paragrafo ci soffermiamo cu come calcolare la norma o anche detta modulo del vettore risultante un’operazione di somma vettoriale. Consideriamo due vettori all’interno di un sistema cartesiano bidimensionale. Tali vettori avranno una componente lungo l’asse delle x ed una componente lungo l’asse delle y:

\overrightarrow{u} (u_{x},u_{y} ) \\\\\,\\\\ \overrightarrow{v} (v_{x},v_{y}  )

Il modulo di ciascun vettore è in relazione con le proprie componenti mediante una relazione di somma quadratica:

|\overrightarrow{u}| = \sqrt{u_{x}^{2}+u_{y}^{2}} \\\,\\|\overrightarrow{v}| = \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} 

dove:

u_{x} = |\overrightarrow{u_{x}}|, \,\,\,\, u_{y} = |\overrightarrow{u_{y}}| \\\,\\ v_{x} = |\overrightarrow{v_{x}}|, \,\,\,\,v_{y} = |\overrightarrow{v_{y}}|

sommando i due vettori abbiamo:

\overrightarrow{w} =\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} 

la cui norma o modulo è data da:

|\overrightarrow{w}| = \sqrt{(u_{x}+v_{x})^{2}+(u_{y}+v_{y})^{2}}

La formula della norma si estende anche al caso di somme vettoriale in spazi vettoriali a più di due dimensioni. In Particolare dati due vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale di n dimensioni ed aventi coordinate:

\overrightarrow{u} (u_{x},u_{y},....u_{n} ) \\\\\,\\\\ \overrightarrow{v} (v_{x},v_{y} ,....v_{n} )

e considerando il loro vettore somma:

\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}

allora possiamo scrivere:

|\overrightarrow{w}| = \sqrt{(u_{x}+v_{x})^{2}+(u_{y}+v_{y})^{2}+....(u_{n}+v_{n})^{2}}

dove le componenti del vettore risultante sono:

w_{x} = |\overrightarrow{w_{x}}| = u_{x}+v_{x} \,\,\,\,w_{y} = |\overrightarrow{w_{y}}| = u_{y}+v_{y}

Se invece abbiamo a che fare con 3 o più vettori, la formula diviene:

|\overrightarrow{w}| = \sqrt{(u_{x}+v_{x}+z_{x})^{2}+(u_{y}+v_{y}+z_{y})^{2}+....(u_{n}+v_{n}+z_{n})^{2}}

Si noti:

per calcolare la norma della somma vettoriale tra due o più vettori questi devono appartenere allo stesso spazio vettoriale.

Esempi di esercizi

Esercizio 1

Calcolare la somma dei seguenti vettori le cui componenti sono riferite ad un sistema di riferimento cartesiano:

\overrightarrow{u} (3,2 ) \\\\\,\\\\ \overrightarrow{v} (-1,-3  )

Disegniamo i due vettori partendo dal valore dei moduli dei vettori componenti:

somma vettoriale: esercizio 1

Applichiamo il metodo del parallelogramma per disegnare il vettore risultante:

somma tra vettori: esercizio 1

Le componenti del vettore risultante saranno pari a:

w_{x} = |\overrightarrow{w_{x}}| = 3+(-1) = 2\,\,\,\,w_{y} = |\overrightarrow{w_{y}}| =2+ (-3) =-1

dunque possiamo scrivere:

\overrightarrow{w} (2,-1 )

il modulo o la norma di tale vettore è dato da:

|w| = \sqrt{w_{x}^{2}+w_{y}^{2}} = \sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}  = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}

Esercizio 2

Calcolare la norma del vettore risultante l’operazione di somma vettoriale tra i vettori:

\overrightarrow{u} (1,5,-4 ) \\\\\,\\\\ \overrightarrow{v} (3,2,0 ) \\\\\,\\\\ \overrightarrow{t} (1,1,-1 )

Applichiamo la formula per sistemi cartesini:

|\overrightarrow{w}| = \sqrt{(u_{x}+v_{x}+t_{x})^{2}+(u_{y}+v_{y}+t_{y})^{2}+(u_{z}+v_{z}+t_{z})^{2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\  \Rightarrow \\\,\\|\overrightarrow{w}| = \sqrt{(1+3+1)^{2}+(5+2+1)^{2}+(-4+0+-1)^{2}} = \sqrt{(5)^{2}+(8)^{2}+(-5)^{2}} = \sqrt{25+64+25}=\sqrt{114}

 

Somma vettoriale
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