In questo appunto vediamo in cosa consiste il settore circolare e le principali formule utili per la risoluzione dei relativi problemi di geometria. In particolare vedremo:
- Definizione di settore circolare
- Formule utili e dimostrazione per area e perimetro di un settore
- Casi particolari di settore circolare: semicerchio e quadrante circolare
- Esempi di esercizi
Definizione di settore circolare
Un settore circolare è una porzione di cerchio delimitata da due raggi e da un arco.
Dove r indica il raggio della circonferenza, C il centro, larco l’arco e θ l’angolo al centro che insiste sull’arco detta anche ampiezza del settore circolare. Si noti che ogni coppia di raggi divide il cerchio in due settori circolari (blu e verde) e la circonferenza in due archi. Per comodità abbiamo indicato l’angolo al centro e l’arco di uno solo dei due settori circolari (blu). Nel prossimo paragrafo vediamo quali sono le formule principali necessarie per la risoluzione degli esercizi. Ci soffermeremo sulle formule che consentono di calcolare l’area ed il perimetro del settore circolare dimostrandole.
Formule utili e dimostrazione per area e perimetro di un settore
Prima di ricavare le formule dell’area e del perimetro di un settore circolare ricordiamo le formule del perimetro e dell’area del cerchio. Il perimetro del cerchio è dato da:
P_{cerchio} = 2\pi r
l’area del cerchio è invece data da:
A_{cerchio}= \pi r^{2}
Passando al settore circolare possiamo dire che il suo perimetro sarà dato dalla somma dei suoi lati, ovvero dalla lunghezza dei due raggi e dell’arco. Per cui:
P_{settore circolare} = r+r+l_{arco} = 2r+l_{arco}
dove la lunghezza dell’arco può essere calcolata in proporzione al perimetro del cerchio. Infatti la lunghezza dell’arco è solo una porzione del perimetro del cerchio. Il rapporto tra la lunghezza dell’arco ed il perimetro del cerchio è uguale al rapporto che l’angolo al centro che insiste sull’arco rispetto all’angolo giro. Se esprimiamo gli angolo in radianti abbiamo:
l_{arco} : 2\pi r= \theta: 2\pi \Rightarrow l_{arco} = \frac{\theta 2 \pi r}{2\pi}\,\,\, \Rightarrow\,\,\, \mathbf{l_{arco} = \theta r}
Allora il perimetro del settore circolare diviente:
\mathbf{P_{settore circolare} = 2r+ \theta r = (2+\theta) r}
Ricorda che se gli angoli sono espressi in gradi e non in radianti, è possibile applicare la seguente trasformazione:
\theta = \frac{\theta° 2 \pi}{360}
Anche l’area del settore circolare può essere calcolata in rapporto all’area dell’intero cerchio. Ancora una vota il rapporto è il medesimo tra l’angolo al centro e l’angolo giro. Vale dunque la proporzione:
A_{settorecircolare}: A_{cerchio} = \theta:2 \pi \\\,\,\, \\\Rightarrow \\\,\,\, \\ A_{settorecircolare}: \pi r^{2} = \theta:2 \pi
da cui ricaviamo che:
A_{settore circolare} = \frac{\theta \pi r^{2}}{2 \pi} \Rightarrow \mathbf{A_{settorecircolare} = \frac{\theta}{2}r^{2}}
Ricapitoliamo adesso le formule appena dimostrate e le formule inverse nella tabella sotto:
Nota 1: se gli esercizi propongono un confronto tra settori o archi differenti, l’utilizzo delle formule sopra riportate deve essere fatto con il giusto approccio. Non bisogna mai confondere, l’area, il perimetro, il raggio e l’ampiezza di un settore circolare con l’area, il perimetro, il raggio e l’ampiezza di un altro settore circolare.
Nota 2: le formule proposte possono essere utili anche per problemi di geometria analitica affrontati in scuola secondaria superiore relativi all’equazione della circonferenza nel piano cartesiano.
Casi particolari di settore circolare: semicerchio e quadrante circolare
Due casi particolari di settore circolare sono il semicerchio ed il quadrante circolare. Esse infatti rappresentano delle porzioni particolare del cerchio:
Il semicerchio è un settore esattamente pari alla metà del cerchio ed è delimitato ancora da due raggi e da un arco pari ad una semicirconferenza. La sua area è metà l’area del cerchio ed il suo perimetro è dato dalla somma di due volte il raggio della circonferenza con il semiperimetro della stessa. L’angolo al centro che definisce un semicerchio è un angolo piatto.
Il quadrante circolare è invece un quarto del cerchio. Per questo motivo la sua area sarà un quarto l’area del cerchio. L’angolo al centro che definisce un quadrante circolare è un angolo retto che è proprio pari ad un quarto dell’angolo giro, per cui l’arco che lo delimita avrà una lunghezza pari ad un quarto della lunghezza del perimetro della circonferenza. Dunque, il perimetro di un quadrante circolare sarà dato dalla somma dei due raggi più un quarto di perimetro.
Per il semicerchio ed il quadrante circolare non occorre memorizzare delle formule specifiche. Esse si ricavano dalle formule generiche di un settore circolare utilizzando come angolo al centro π nel caso del semicerchio e π/4 nel caso di un quadrante circolare.
Vediamo adesso nel prossimo paragrafo alcuni esempi di esercizi.
Esempi di esercizi
Esempio 1
Calcolare l’area del settore circolare di ampiezza pari a π/4 ed appartiene ad una cerchio di perimetro 20cm.
Risolviamo questo esercizio passo passo. Innanzitutto riportiamo la formula dell’area del settore circolare. Essa, se l’angolo è espresso in radianti è pari a:
A_{settore circolare} = \frac{\theta}{2}r^{2}
Il problema ci fornisce già l’angolo θ. Occorre conoscere il raggio che calcoleremo dal perimetro. Ricordiamo infatti che:
P_{cerchio} = 2 \pi r
per cui:
r= \frac{P_{cerchio}}{2 \pi} = \frac{20}{2 \pi} \approx 3,18 cm
Adesso possiamo calcolare l’area del settore:
A_{settore circolare} = \frac{\theta}{2}r^{2} = \frac{\pi}{4*2}*3,18^{2} \approx 3,97 cm^{2}
In alternativa avremmo potuto utilizzare la formula riportata in tabella 1 dell’area del settore in funzione del perimetro del cerchio:
A_{settore circolare} = \frac{P^{2}_{cerchio} \theta}{8 \pi^{2}} = \frac{20^{2} \pi}{4*8 \pi^{2}} \approx 3,97 cm^{2}
ottenendo lo stesso risultato
Esempio 2
Calcolare il perimetro di un settore circolare di ampiezza π/8 e facente parte di un cerchio di area 480cm2
Per calcolare il perimetro del settore ci servirà calcolare il raggio del cerchio. Sappiamo che l’area del cerchio è:
A_{cerchio} = \pi r^{2}
per cui:
r= \sqrt{\frac{A_{cerchio}}{\pi}} =\sqrt{\frac{480}{\pi}} = 12,36 cm
Per cui adesso possiamo calcolare il perimetro del settore:
P_{settore circolare} = (\theta +2)r = \left( \frac{\pi}{8} + 2\right)*12,36 \approx 29,57 cm
In alternativa avremmo potuto utilizzare la formula diretta dalla tabella 1:
P_{settore circolare} = (\theta +2) \sqrt{\frac{A_{cerchio}}{\pi}} = \left( \frac{\pi}{8}+2\right) \sqrt{\frac{A_{cerchio}}{\pi}} \approx 29,57 cm
Esempio 3
Calcolare l’ampiezza in gradi di un settore circolare avente area 30cm^{2} e raggio 6cm
Ricordiamo che l’area di un settore circolare è data da:
A_{settore circolare} = \frac{r^{2}}{2} \theta
da cui ricaviamo la formula dell’angolo al centro, o ampiezza, del settore:
\theta = \frac{2A_{settorecircolare}}{r^{2}} = \frac{2*30}{36} \approx 1,67
Per calcolare l’angolo in gradi utilizziamo invece la proporzione:
360:2\pi = \theta°:\theta
per cui:
\theta° = \frac{360 *\theta}{2 \pi} = \frac{360 *1,67}{2 \pi} \approx 95,68°
Esempio 4
Sia data un settore circolare di ampiezza 75° e avente perimetro di 32 cm. Calcolare l’ampiezza che dovrebbe avere un settore appartenente allo stesso cerchio per poter avere un perimetro di 42 cm.
Si noti, innanzitutto, che gli angoli sono riportati in gradi. Possiamo per comodità trasformarli in radianti (scelta più consigliata), attraverso la proporzione:
2 \pi:360 = \theta : 75°
da cui:
\theta=\frac{75*2 \pi}{360} \approx 0,41 \pi \approx 1,31
o in alternativa utilizzare le formule della tabella 1 sostituendo a θ il termine:
\frac{\theta° 2 \pi}{360}
Nel seguito della soluzione del problema preferiamo esprimere l’angolo in radianti. Tornando al problema, sapendo il perimetro del settore e la sua ampiezza in radianti, possiamo calcolarci il raggio. La tabella 1 ci da la formula inversa del raggio rispetto al perimetro:
r=\frac{P_{settore circolare}}{\theta +2} = \frac{32}{2+1,31} \approx 9,67cm
Adesso conosciuto il raggio del cerchio possiamo calcolare l’ampiezza che un settore deve avere al fine di poter avere un perimetro di 42 cm. Utilizziamo la formula dell’ampiezza in funzione del perimetro riportata in tabella 1:
\theta = \frac{P_{sett}}{r} - 2 = \frac{42}{9,67} - 2 =\approx 2,34 \approx \frac{3 \pi}{4}
Dunque un ampiezza approssimativa di 3/4π (135°) è necessaria per avere un settore con perimetro 42 cm
Esempio 5
Un settore circolare ha area 30cm2 ed ampiezza pari a 43°. Quale deve essere l’ampiezza di un settore appartenente allo stesso cerchio per avere un area di 45cm2 ?
Da quanto visto nel primo paragrafo, il rapporto tra l’area di un settore circolare e l’area del cerchio è proporzionale al rapporto della sua ampiezza con l’angolo giro. Lo stesso si può dire per due settori circolari appartenenti allo stesso cerchio. Dunque, il rapporto dell’area del primo sull’area del secondo è uguale al rapporto dell’ampiezza del primo sull’ampiezza del secondo. In termini matematici ciò vuol dire:
A_{settore circolare 1} :A_{settore circolare 2} = \theta°_{1}:\theta°_{2}
Sostituiamo i valori riportati nel problema:
30:45=43:\theta°_{2}
allora:
\theta°_{2} = \frac{43*45}{30} = 64,5°
possiamo dunque conoscere il suo valore in radianti applicando la formula:
\theta_{2} = \frac{2 \pi \theta°_{2} }{360} = \frac{2 \pi *64,5 }{360} \approx 0,36 \pi \approx \frac{18}{5} \pi
