In questo breve appunto dimostriamo la seconda relazione fondamentale della goniometria. Per comprendere a pieno il contenuto di questo appunto è necessario conoscere le definizioni di seno e coseno e di tangente sulla circonferenza goniometrica. E’ inoltre necessario conoscere i criteri di similitudine dei triangoli. Dunque in questo appunto vedremo:

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Dimostrazione della seconda relazione fondamentale della goniometria

La seconda relazione fondamentale della goniometria mette in relazione il seno ed il coseno di un angolo con la tangente dello stesso. In particolare questa afferma che la tangente di un angolo è il rapporto tra il seno ed il coseno dello stesso angolo:

tan\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}

ma come si dimostra tale relazione? Consideriamo un generico angolo nel primo quadrante della circonferenza goniometrica e rappresentiamo graficamente le tre funzioni di questo angolo:

seconda relazione fondamentale della goniometria

Ricordiamo che per un angolo situato nel primo quadrante le funzioni tangente, seno e coseno sono tutte positive e corrispondenti alle lunghezze di specifici segmenti. In particolare:

  • Il seno dell’angolo è corrispondente alla lunghezza della proiezione del raggio vettore, che ha lunghezza unitaria, della circonferenza goniometrica sull’asse delle ordinate. In figura corrisponde alla lunghezza del segmento OB e del segmento PA
  • Il coseno dell’angolo è corrispondente alla lunghezza della proiezione del raggio vettore, che ha lunghezza unitaria, della circonferenza goniometria sull’asse delle ordinate. In figura corrisponde alla lunghezza del segmento OA e del segmento BP
  • La tangente dell’angolo è invece pari alla lunghezza del segmento che ha per estremi il punto C, punto di intersezione della circonferenza goniometrica con l’asse delle ascisse, ed il punto D, punto di intersezione del prolungamento del raggio vettore OP con la retta parallela all’asse delle ordinate e passante per C.

Adesso consideriamo i due triangoli OAC e OCD. Possiamo dire che questi due triangoli sono simili in quanto:

  • hanno un angolo in comune:
A\widehat{O}P=C\widehat{O}D=\alpha
  • hanno entrambi un angolo retto:
O\widehat{A}P=O\widehat{C}D=\frac{\pi}{2}
  • Di conseguenza è dimostrabile la congruenza tra i restanti angoli dei due triangoli:
O\widehat{P}A=O\widehat{D}C=\pi-\frac{\pi}{2}-\alpha=\frac{\pi}{2}-\alpha

dunque, poiché i due triangoli hanno i tre angoli congruenti, questi possono essere definiti triangoli simili. I lati di tali triangoli saranno allora in proporzione tra loro. Possiamo dunque scrivere la relazione:

\overline{OA}:\overline{OC}=\overline{AP}:\overline{CD}

ma ricordiamo che:

\overline{OA}=cos\alpha \\\,\\ \overline{OC}=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ \overline{AP}=sin\alpha\\\,\\ \overline{CD}=tan\alpha

possiamo dunque riscrivere la proporzione:

cos\alpha:1=sin\alpha:tan\alpha

da cui possiamo ricavare la tangente dell’angolo:

tan\alpha=\frac{sin\alpha*1}{cos\alpha}=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}

Abbiamo dunque dimostrato la seconda relazione fondamentale della goniometria!

Seconda relazione fondamentale della goniometria