In questo appunto vediamo in cosa consiste la scomposizione di un vettore ed approfondiremo il caso di scomposizione in un sistema di riferimento cartesiano. Abbiamo già definito cosa è un vettore e le sue proprietà a questo link. Per capire meglio quanto si andrà qui a scrivere, ti consigliamo di rivedere anche il concetto di somma vettoriale e di riferimento cartesiano. Questo appunto sarà invece così strutturato:

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Cosa si intende per scomposizione di un vettore

Per scomposizione vettoriale si intende un’operazione vettoriale che ad un vettore restituisci i vettori componenti rispetto ad un sistema di riferimento. I vettori componenti sono tali che se sommati vettorialmente forniscono come risultante il vettore di partenza.

Rispetto ad un sistema di riferimento, il vettore e le sue componenti godono di una corrispondenza biunivoca. Il che significa cha a ciascun vettore può essere associato uno ed uno solo gruppo di componenti e viceversa. Immaginiamo di avere un vettore v ed un generico sistema di riferimento 0xy:

esempio di scomposizione di un vettore

graficamente la scomposizione di un vettore si ottiene applicando all’inverso la regola del parallelogramma. Dunque dalla punta del vettore che vogliamo scomporre tracciamo delle rette parallele agli assi del sistema di riferimento. Il punto di intersezione tra tali rette e gli assi cartesiani individuano le punte dei vettori componenti:

scomposizione di un vettore rispetto ad un sistema di riferimento generico

Il vettore v può essere dunque espresso con una delle seguenti notazioni:

\overrightarrow{v} =\overrightarrow{v_{x}}+\overrightarrow{v_{y}} \\\,\\ \overrightarrow{v} = v_{x}\widehat{x} +v_{y}\widehat{y} \\\,\\ \overrightarrow{v}(\overrightarrow{v_{x}},\overrightarrow{v_{y}})

dove:

v_{x} =|\overrightarrow{v_{x}}| \\\,\\ v_{y} =|\overrightarrow{v_{y}}|

e:

\widehat{x},\widehat{y}

sono detti versori e rappresentano la direzione ed il verso degli assi relativi.

Nel prossimo paragrafo vediamo una delle scomposizioni più comuni per un vettore, quelle rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano.

Scomposizione di un vettore rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano

La scomposizione più comune di un vettore è quella rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano dove gli assi del sistema sono tutti ortogonali tra loro. Consideriamo di avere un generico vettore che forma un angolo α con l’asse delle x:

scomposizione di un vettore rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano

Poiché nel caso di un riferimento cartesiano le componenti di un vettore sono le proiezioni ortogonali dello stesso rispetto agli assi, possiamo calcolare i moduli di tali componenti utilizzando le funzioni goniometriche seno e coseno

u_{x}= |\overrightarrow{u_{x}}| = |\overrightarrow{u}|cos\alpha \\\,\\ u_{y}= |\overrightarrow{u_{y}}| = |\overrightarrow{u}|sin\alpha

dunque è possibile scrivere:

 \overrightarrow{u} = | \overrightarrow{u}|cos\alpha \,\widehat{x} +| \overrightarrow{u}|sin\alpha \,\widehat{y}

Ne risulta inoltre che:

cos\alpha = \frac{u_{x}}{\overrightarrow{u}} \\\,\\ sin\alpha = \frac{u_{y}}{\overrightarrow{u}}

Dall’ortogonalità delle componenti ne risulta anche la seguente relazione derivata dal Teorema di Pitagora (si noti che il vettore e le sue componenti formano un triangolo rettangolo in cui il vettore è l’ipotenusa e le sue componenti sono i cateti):

|\overrightarrow{u}| = \sqrt{u_{x}^{2}+u_{y}^{2}} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^{2}cos^{2}\alpha+|\overrightarrow{u}|^{2}sin^{2}\alpha}

che può essere riscritta nelle forme:

|\overrightarrow{u}| ^{2} =u_{x}^{2}+u_{y}^{2} \\\,\\  u_{x}^{2}=|\overrightarrow{u}| ^{2}-u_{y}^{2} \\\,\\  u_{y}^{2}=|\overrightarrow{u}| ^{2}-u_{x}^{2}
Esempi di esercizi

Esercizio 1

Calcolare i moduli delle componenti di un vettore che forma un angolo di 60° con l’asse delle x e di modulo uguale a 4. Il sistema di riferimento è un sistema di riferimento cartesiano bidimensionale

Poiché abbiamo a che fare con un sistema di riferimento cartesiano bidimensionale, il modulo delle componenti è dato da:

u_{x} = |\overrightarrow{u}|cos\alpha = 4cos60 = 4\frac{1}{2} = 2 \\\,\\ u_{y} = |\overrightarrow{u}|sin\alpha = 4sin60 = 4\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}

Esercizio 2

Calcolare i moduli delle componenti di un vettore che forma un angolo di 15° con l’asse delle y e di modulo uguale a 6. Il sistema di riferimento è un sistema di riferimento cartesiano bidimensionale

Si noti che l’angolo fornito è rispetto all’angolo delle y. L’angolo rispetto all’asse delle x è dato da:

\alpha = 90-\beta= 90-15 = 75°

Adesso possiamo applicare le formule per il calcolo dei moduli dei componenti:

u_{x} = |\overrightarrow{u}|cos\alpha = 6cos75 = 6\frac{1}{2} = 2 \\\,\\ u_{y} = |\overrightarrow{u}|sin\alpha = 4sin60 = 4\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}

Esercizio 3

In un sistema di riferimento cartesiano, la componente di un vettore lungo l’asse delle x ha modulo pari a 3 mentre il vettore ha modulo pari a 5. Trovare la componente lungo l’asse delle y

Utilizziamo in questo caso il teorema di Pitagora per calcolare il modulo della componente lungo l’asse delle y:

u_{y} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^{2}-u_{x}^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16} =4

la componente lungo l’asse delle y ha componente pari a 4.

Esercizio 4

In un sistema di riferimento cartesiano, un vettore di modulo 56 ha una componente lungo l’asse delle x pari a 39,6. Trovare l’angolo che il vettore forma con l’asse delle x

Sappiamo che la componente lungo l’asse delle x di un vettore è pari a:

u_{x} = |\overrightarrow{u}| cos\alpha

ne risulta dunque che:

cos\alpha = \frac{u_{x}}{|\overrightarrow{u}|} = \frac{39,6}{56} \approx 0,7071

dalla tabella dei valori delle funzioni goniometriche per angoli caratteristici, risulta che 0,7071 è il coseno di 45°. Dunque:

\alpha \approx arccos 0,7071 \approx arccos\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 45°
Scomposizione di un vettore