Vediamo in questo appunto i concetti di rette parallele e rette perpendicolari in un piano cartesiano. Per capire quanto sotto proposto è necessario avere la padronanza dei concetti di:

Vediamo quindi nel seguito i seguenti due casi:

Rette parallele in un piano cartesiano

Il coefficiente angolare di una retta è la tangente dell’angolo che la retta forma con l’asse delle ascisse. Una conseguenza diretta di tale coefficiente riguarda la posizione relativa di due rette tra di loro. E’ intuibile, infatti, che due rette aventi lo stesso coefficiente angolare sono parallele tra di loro in quanto formano lo stesso angolo con l’asse delle ascisse. Vediamo nella figura sotto il caso di rette parallele aventi tutti coefficiente angolare m=1.

rette parallele in un piano cartesiano: esempio m=1

Quindi date due equazioni di rette scritte in forma esplicita:

la condizione necessaria e sufficiente per poter parlare di parallelismo tra le due rette è:

condizione rette parallele: uguaglianza coefficienti angolari

L’uguaglianza di coefficienti angolari dell’equazione di due rette in forma esplicita garantisce il parallelismo. Come esercizio ti proponiamo di ragionare sulla figura sopra riportata e utilizzando il teorema di Talete relativo alle rette parallele tagliate da una trasversale. Considera nel nostro caso come trasversale l’asse delle x e considera gli angoli delle rette con l’asse delle x come angoli corrispondenti. Ricordiamo due casi particolari di rette parallele:

  • rette parallele all’asse delle x: si tratta di rette con equazione esplicita y=q. Il coefficiente angolare m è nullo.
  • rette parallele all’asse delle y: per queste rette non esiste un’equazione esplicita i y. Tali rette hanno equazione x=c. Il coefficiente angolare è impossibile da calcolare in quanto nel rapport -a/b il termine b è nullo
Rette perpendicolari in un piano cartesiano

E’ possibile dal coefficiente angolare capire anche quando due rette sono perpendicolari tra di loro? Nella figura sotto abbiamo disegnato due rette perpendicolari tra loro. La prima forma un angolo alfa con l’asse delle x, la seconda, poiché perpendicolare alla prima, formerà un angolo pari ad alfa + 90° (in realtà sarebbe più giusto dire che la retta perpendicolare potrebbe formare un angolo con le ascisse pari ad alfa +- 90°):

esempio rette perpendicolari

Chiamiamo r la retta che forma con l’asse delle x un angolo alfa e s la retta ad essa perpendicolare che forma un angolo con l’asse delle x pari ad alfa + 90°. Per la retta r, il coefficiente angolare è la tangente dell’angolo alfa che la retta forma con l’asse delle x:

La retta s perpendicolare alla retta r forma con l’asse delle x un angolo pari ad alfa + 90°:

ma per le proprietà della funzione tangente sappiamo che

ne consegue che m’ =-1/m e che due rette perpendicolari devono soddisfare la relazione:

e quindi:

antireciprocità dei coefficienti angolari

Si dice infatti che affinché due rette siano perpendicolari tra loro il coefficiente m’ debba essere l’antireciproco del coefficiente m. Questo stesso risultato lo si ottiene se la retta forma con l’asse delle x un angolo pari ad alfa -90°:

Se quindi una retta ha coefficiente angolare pari a 2/3, le sue rette perpendicolari avranno coefficiente angolare pari a -3/2. Altri esempi:

m=1/3 –> m’ = -3

m=-4/3 –> m’ = 3/4

E’ importante concludere che ogni retta ha infinite rette a se parallele ed infinite rette a se perpendicolari. All’uguaglianza e alla reciprocità di m, infatti, è associata un’infinità di valori dell’intercetta o ordinata all’origine q.

Rette parallele e rette perpendicolari