In questo appunto vediamo come calcolare la retta tangente ad un’ellisse e passante per un punto. In particolare avrai modo di apprendere quali metodi algebrici utilizzare per calcolare l’equazione della retta tangente, quali le difficoltà con ciascuno di essi e vedrai anche alcuni esempi di esercizi. In particolare, l’appunto sarà strutturato nei seguenti paragrafi:

Se hai bisogno di appunti relativi ad altri concetti di geometria analitica ti rimandiamo al seguente link.

Rette tangenti all’ellisse: punti esterni e punti appartenenti all’ellisse

Quando parliamo di retta tangente ad un’ellisse e passanti per un punto dobbiamo distinguere due casi:

  • Il primo è quello dove il punto appartiene all’ellisse. In questo caso esiste una sola retta passante per tale punto e tangente all’ellisse
  • Il secondo è quello dove il punto è esterno all’ellisse. In questo caso è sempre possibile individuare due rette passanti per il punto e tangenti all’ellisse

Si noti che non è stato menzionato il terzo caso, quello dove il punto è interno all’ellisse. Il motivo è che tutte le rette passanti per un punto interno, saranno sempre secanti l’ellisse. Se non ricordi le definizioni di retta tangente, secante ed esterna, ti rimandiamo a questo link. Rappresentiamo adesso graficamente i due casi sopra descritti:

retta tangente ad un'ellisse e passante per un punto

Si noti che per il punto P1, appartenente all’ellisse, passa una ed una sola retta tangente all’ellisse. Caso diverso invece per il punto P2 per il quale è possibile tracciare ben due rette tangenti all’ellisse. Prova invece a tracciare una retta che passi dal punto P3 e che sia tangente all’ellisse: non ci riuscirai. Ricordiamo adesso nel prossimo paragrafo in cosa consiste la condizione di tangenza di una retta rispetto all’ellisse

Condizione di tangenza

La condizione affinché una retta sia tangente ad un’ellisse è che esista un solo punto in comune tra la retta e l’ellisse. Ricordiamo che lo strumento algebrico che consente di definire i punti in comune tra due curve è il sistema delle due equazioni rappresentanti le curve stesse. Nel caso di retta ed ellisse, avremmo un sistema del tipo:

\left\{\begin{matrix} y=mx+q\\ \, \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \end{matrix}\right.

la risoluzione di tale sistema è abbastanza semplice. Sostituendo il valore della y della prima equazione nella seconda otterremmo l’equazione risolvente il sistema:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{(mx+q)^{2}}{b^{2}}=1

si tratta di un’equazione di secondo grado in x e la cui risoluzione ci consentirà di ottenere i valori delle ascisse dei punti in comune alla retta e all’ellisse. Senza andare troppo oltre, possiamo dire che, affinché la retta sia tangente all’ellisse, deve accadere che tale equazione abbia due soluzioni reali e coincidenti o che in alternativa, il delta di tale equazione di secondo grado sia nullo!:

{\color{blue} \Delta = b^{2}-4ac = 0}

questa è la condizione generica di tangenza della retta verso qualsiasi conica. L’abbiamo già vista quando abbiamo parlato della tangenza della retta con la parabola e della retta con la circonferenza.

Metodi per il calcolo della retta tangente ad un’ellisse

Nel seguito vedremo due metodi che possono essere utilizzati per calcolare l’equazione della retta tangente ad un’ellisse e passante per un punto. Si tratta del metodo del fascio proprio di rette e del metodo delle formule di sdoppiamento. Questi due metodi sono stati spiegati ed utilizzati già quando abbiamo parlato di parabola e di circonferenza. Il metodo del fascio proprio di rette può essere utilizzato sia che il punto P sia esterno o appartenente all’ellisse. Il metodo delle formule di sdoppiamento invece può essere utilizzato quando il punto P appartiene all’ellisse. Se sei interessato alla dimostrazione delle formule di sdoppiamento ti rimandiamo a quella della parabola a questo link. L’indicazione nella risoluzione che daremo è dunque:

  • Se il punto P è esterno allora è preferibile utilizzare il metodo del fascio proprio di rette
  • Se il punto P è appartenente all’ellisse, è preferibile utilizzare il metodo delle formule di sdoppiamento

Vediamo ora più in dettaglio i due metodi.

Metodo del fascio proprio di rette

Il metodo del fascio proprio di rette consiste nel porre l’equazione del fascio proprio di rette avente centro nel punto P di coordinate xP, yP a sistema con l’equazione dell’ellisse. Ricordiamo che l’equazione generica del fascio proprio di rette è:

y-y_{P} = m(x-x_{P})

Come già detto, l’individuazione della retta o delle rette tangenti all’ellisse richiede di porre a sistema questa equazione con quella dell’ellisse:

\left\{\begin{matrix}
y-y_{P}=m(x-x_{P})
 \\ \,\\
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right.

è consigliabile eseguire la soluzione di questo sistema sostituendo il valore della y della prima equazione nella seconda. Otterremo dunque l’equazione risolvente di secondo grado in x:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{[m(x-x_{P})+y_{P}]^{2}}{b^{2}}=1 

Sviluppando gli opportuni calcoli e semplificazioni, sarà possibile calcolare il delta di tale equazione. Imponendo il delta = 0 calcoleremo i valori di m per i quali il fascio proprio di rette restituirà l’equazione di una retta tangente all’ellisse.

Riepilogo dei passaggi:

  • Calcolare l’equazione del fascio proprio di rette
  • Mettere a sistema l’equazione del fascio con quella dell’ellisse
  • Calcolare l’equazione risolvente del sistema. Sarà un’equazione di secondo grado
  • Imporre il delta di tale equazione =0. Si otterrà una nuova equazione di secondo grado in m. Risolverla per conoscere i valori di m per i quali il fascio restituisce una retta tangente all’ellisse
  • Sostituire i valori di m così calcolati all’equazione del fasico proprio di rette
Metodo delle formule di sdoppiamento

Vediamo adesso il metodo delle formule di sdoppiamento. Data l’equazione dell’ellisse e le coordinate xP e yP del punto P appartenente all’ellisse, è possibile calcolare la retta tangente all’ellisse in P eseguendo le seguenti trasformazioni nell’equazione dell’ellisse:

x^{2} \Rightarrow x_{P}x \\\,\\ y^{2} \Rightarrow y_{P}y

il che significa trasformare l’equazione dell’ellisse nel seguente modo:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow \frac{x_{P}x}{a^{2}}+ \frac{y_{P}y}{b^{2}}=1

In questo modo si trasforma l’equazione dell’ellisse nell’equazione di una retta. Tale retta è proprio la retta tangente all’ellisse nel punto P.

Rette tangenti ai vertici

Esiste un caso particolare in cui non è necessario eseguire alcun calcolo per conoscere l’equazione della retta tangente ad un’ellisse. Si tratta del caso in cui il punto P coincide con uno dei quattro vertici dell’ellisse. Ricordiamo infatti che le seguenti 4 rette:

  • x=a
  • x=-a
  • y=b
  • y=-b

sono tutte tangenti all’ellisse nei suoi vertici. Rappresentiamo il tutto in figura:

retta tangente ad un'ellisse e passante per un punto

Le 4 rette disegnano un rettangolo nel quale l’ellisse è inscritta!

Esempi di esercizi

Esercizio 1

Calcolare le rette passanti per il punto P(3,4) e tangenti all’ellisse di equazione:

\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{64} = 1

supponendo il punto esterno all’ellisse scriviamo innanzitutto l’equazione del fascio proprio di rette con centro in P:

y-y_{P}=m(x-x_{P}) \\\,\\
y-4 = m (x-3) \\\,\\ y=mx-3m+4

scriviamo il sistema di equazioni comprendente il fascio di rette proprio e l’ellisse:

\left\{\begin{matrix}
y=mx-3m+4\\ \, \\ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{64} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

\end{matrix}\right.

sostituiamo il valore della y nell’equazione dell’ellisse:

\frac{x^{2}}{4}+\frac{(mx-3m+4)^{2}}{64} = 1 \\\,\\ \frac{x^{2}}{4}+\frac{m^{2}x^{2}+9m^{2}+16-6m^{2}x+8mx-24m}{64} = 1 \\\,\\ \frac{(16+m^{2})x^{2}+(8m-6m^{2})x+9m^{2}-48-24m}{64} = 0 \\\,\\(16+m^{2})x^{2}+(8m-6m^{2})x+9m^{2}-48-24m =0

abbiamo ottenuto come equazione risolvente un’equazione di secondo grado. Per poter ottenere i valori per i quali il coefficiente angolare m rappresenta una retta tangente all’ellisse bisogna imporre il suo delta quarti uguale a zero:

\frac{\Delta}{4} = \left(\frac{b}{2}\right)^{2}-ac = 0 \\\,\\ \frac{\Delta}{4}= (4m-3m^{2})^{2}-(16+m^{2})(9m^{2}-48-24m)=0 \\\,\\\frac{\Delta}{4} = 16m^{2}+9m^{4}-24m^{3}-144m^{2}-9m^{4}+768-48m^{2}+384m+24m^{3}=0 \\\,\\\frac{\Delta}{4} = -176m^{2}+384m+768=0

abbiamo ottenuto dunque la seguente equazione di secondo grado:

176m^{2}-384m-768=0

semplifichiamola dividendo entrambi i membri per 16:

11m^{2}-24m-48=0

risolviamola:

m_{1,2} = \frac{-\left(\frac{b}{2}\right)\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-ac}}{a}= \frac{12\pm\sqrt{144+528}}{11}= \frac{12\pm\sqrt{672}}{11}= \frac{12\pm4\sqrt{42}}{11}

per cui:

m_{1}=\frac{12+4\sqrt{42}}{11} \\\,\\ m_{2}=\frac{12-4\sqrt{42}}{11} 

le rette tangenti all’ellisse e passanti per il punto P saranno dunque date sostituendo i due valori di m all’equazione del fascio proprio y=mx-3m+4:

y=\frac{12+4\sqrt{42}}{11} x+\frac{8-12\sqrt{42}}{11} \\\,\\y=\frac{12-4\sqrt{42}}{11} x+\frac{8+12\sqrt{42}}{11} 

Esercizio 2

Calcolare l’equazione della retta tangente all’ellisse:

\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25} = 1

nel suo punto:

P(1,\frac{5\sqrt{15}}{4})

poiché il punto P è appartenente all’ellisse, possiamo utilizzare le formule di sdoppiamento per calcolare l’equazione della retta tangente. Eseguiamo dunque le sostituzioni:

x^{2} \Rightarrow x_{P}x \\\,\\ y^{2} \Rightarrow y_{P}y

nell’equazione dell’ellisse:

\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25} = 1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{x_{P}x}{16}+\frac{y_{P}y}{25} = 1  \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\  \frac{x}{16}+\frac{\frac{5\sqrt{15}}{4}y}{25} = 1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\  \frac{x}{16}+\frac{\sqrt{15}y}{20} = 1 

che è l’equazione in forma implicita della nostra retta tangente.

 

Come calcolare la retta tangente ad un’ellisse e passante per un punto