Retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto

Vediamo in questo breve appunto come eseguire il calcolo dell’equazione di una retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto. In particolare vedremo:

• Introduzione al concetto di fascio improprio
• Passaggi per calcolare la retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto
• Esempi

Introduzione al concetto di fascio improprio

Per poter eseguire il calcolo dell’equazione di una retta conoscendo le coordinate del suo punto ed il suo coefficiente angolare è necessario comprendere ed assimilare il concetto di fascio improprio. Per una spiegazione completa ti consigliamo il seguente link. Di seguito illustreremo i concetti più importanti.

Un fascio di rette si dice improprio se è caratterizzato da un infinito gruppo di rette tutte parallele tra di loro. La condizione di parallelismo è assolutamente necessaria per poter parlare di un fascio di questo tipo. Abbiamo approfondito i concetti di fascio proprio ed improprio al seguente link. Quello che adesso è necessario sapere per il proseguo è che un fascio improprio di rette può essere rappresentato da una funzione generica del tipo:

dove m assume un valore ben preciso e q è un parametro. Ad esempio l’equazione:

appresenta tutte le rette con coefficiente angolare 3,

In alternativa, conoscendo m l’equazione del fascio può essere rappresentata in funzione delle coordinate di un generico punto A:

quest’ultima formula è importantissima per esercizi in cui bisogna calcolare l’equazione di una retta con coefficiente angolare noto. Utilizzeremo questa equazione negli esempi sotto riportati

Passaggi per calcolare la retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto

In generale, i problemi di questo tipo sono abbastanza semplici da affrontare. Spesso la difficoltà sta proprio nell’individuare il coefficiente angolare derivandolo da altre informazioni contenute nell’esercizio. I casi più frequenti prevedono di:

• Calcolare l’equazione di una retta passante per un punto e parallela ad un’altra retta nota
• Calcolare l’equazione di una retta passante per un punto e perpendicolare ad un’altra retta nota

Per affrontare questi due casi bisogna ricordare due concetti molto semplici. Il primo lo abbiamo introdotto nel paragrafo precedente e asserisce che due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare. Il secondo invece riguarda due rette perpendicolari. In questo caso le due rette sono caratterizzare dall’avere un coefficiente angolare antireciproco dell’altro.

Quindi i passaggi da fare per risolvere esercizi di questo tipo sono:

1. Individuare il coefficiente angolare sfruttando le relazioni dei coefficienti angolari tra rette parallele e rette perpendicolari. Fare attenzione che le rette siano in forma esplicita.
2. Applicare la formula y-y_A=m(x-x_A) per calcolare l’equazione di una retta passante per un punto e di coefficiente angolare noto.

Vediamo di seguito due esempi.

Esempio1

Calcolare la retta passante per il punto A(1,1) e parallela alla retta -4x+2y-1=0.

• Per prima cosa, è necessario rappresentare la retta -4x+2y-1=0 in forma esplicita. Si ottiene

y=2x+1/2

Il coefficiente angolare della retta è quindi m=2.

• Calcolare l’equazione della retta passante per il punto A(1,1) ed avente coefficiente angolare m=2-Applicare la formula:
  

si ottiene

y-1= 2(x-1)

y-1=2x-2

y=2x-1

La retta ottenuta è passante per il punto A(1,1) e parallela alla retta data.

Esempio 2

Calcolare la retta passante per il punto B(3,1) e perpendicolare alla retta y = -1/2x+3

• La retta è già riportata in forma esplicita. Il coefficiente angolare noto è m=-1/2
• Imporre la condizione di perpendicolarità per i coefficienti angolari:
  

• La nostra retta avrà allora coefficiente angolare pari 2 (antireciproco di -1/2)
• Calcolare l’equazione della retta passante per il punto B applicando la formula nota

y-1=2(x-3)

y=2x-5

Ecco ottenuta l’equazione della retta desiderata

Esempio 3

Calcolare l’equazione della retta passante per il punto C(3,2) e perpendicolare alla retta di equazione x=4.

Attenzione! Le rette parallele all’asse delle y non possono essere rappresentate dall’equazione esplicita y=mx+q. Non possiamo avvalerci del coefficiente angolare! Come facciamo? Semplice. La retta perpendicolare ad una di equazione y=k avrà equazione y=q. Ma quanto vale q? Questa informazione la ricaviamo dall’ordinata del punto C. La soluzione sarà quindi y=2.