In questo appunto vediamo in cosa consiste la relazione fondamentale della goniometria o identità fondamentale della goniometria. Per comprendere bene il contenuto di questo appunto consigliamo di approfondire i concetti di circonferenza goniometrica e di seno e coseno di un angolo. In questo appunto vedremo:
- Relazione fondamentale della goniometria
- Relazioni inverse
- Dimostrazione della relazione fondamentale della goniometria attraverso il teorema di Pitagora
- Dimostrazione mediante l’equazione della circonferenza goniometrica
Per ulteriori appunti di goniometria e trigonometria ti rimandiamo al relativo indice degli argomenti.
Relazione fondamentale della goniometria
La relazione fondamentale della goniometria o identità fondamentale della goniometria è una equazione che mette in relazione i quadrati del seno e del coseno di un angolo. Essa ci dice che la somma del quadrato del seno di un angolo con il quadrato del coseno di un angolo è pari ad 1:
sen^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1
si tratta di un’equazione valida per qualsiasi angolo. Questa relazione è molto importante in quanto permette di semplificare in modo efficace espressioni ed equazioni goniometriche oltre che a risolvere problemi di trigonometria. E’ importante notare che i quadrati espressi sono relativi alle funzioni seno e coseno e non all’angolo. Con questo si vuole sottolineare che:
sen^{2}\alpha \neq sen\alpha^{2} \\\,\\ \\\,\\ cos^{2}\alpha \neq cos\alpha^{2}
per cui è fondamentale non commettere mai l’errore di porre:
sen\alpha^{2}+cos\alpha^{2}=1
nei prossimi paragrafi vedremo come è possibile dimostrare la relazione fondamentale della goniometria.
Relazioni inverse
Vediamo adesso quali sono le relazioni inverse che derivano dalla relazione fondamentale della goniometria. Per relazioni inverse si intendono quelle relazioni che consentono di esprimere il seno in funzione del coseno e viceversa.
Cerchiamo di esprimere il seno in funzione del coseno:
sen^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ sen^{2}\alpha = 1-cos^{2}\alpha
estraiamo adesso la radice quadrata ed otteniamo la prima relazione inversa:
sen\alpha = \pm \sqrt{1-cos^{2}\alpha}
Eseguendo gli stessi passaggi per la funzione coseno otteniamo la relazione:
cos\alpha = \pm \sqrt{1-sen^{2}\alpha}
dunque, ricapitolando, le due relazioni inverse sono:
sen\alpha = \pm \sqrt{1-cos^{2}\alpha} \\\,\\ \\\,\\ cos\alpha = \pm \sqrt{1-cos^{2}\alpha}
si noti che nella risoluzione degli esercizi di goniometria può risultare più utile utilizzare le forme:
sen^{2}\alpha = 1-cos^{2}\alpha \\\,\\ cos^{2}\alpha = 1-sen^{2}\alpha
Dimostrazione della relazione fondamentale della goniometria attraverso il teorema di Pitagora
Vediamo adesso come dimostrare questa relazione. Lo faremo partendo dalla circonferenza goniometrica e dalle definizioni di seno e coseno di un angolo. Consideriamo dunque la seguente circonferenza goniometrica ed un generico angolo α che il raggio vettore OP di lunghezza unitaria forma con l’asse delle ascisse.
Ricordiamo che per definizione il coseno di α altro non è che la proiezione del raggio vettore OP rispetto all’asse delle ascisse. Dunque il valore del coseno coincide con l’ascissa del punto A in figura. Si noti che il segno del coseno dipende dalla posizione della proiezione OA. Se OA è sul lato positivo delle ascisse, allora il coseno sarà positivo. Se OA è sul lato negativo, allora il coseno sarà negativo.
Il seno, similarmente, può essere identificato come la proiezione del raggio-vettore OP rispetto all’asse delle ordinate. Dunque il suo modulo coincide con l’ordinata del punto B in figura. Il segno del seno dipende dalla posizione del segmento OB rispetto all’asse delle ordinate. Il seno sarà positivo se il segmento OA è sul lato positivo dell’asse ordinate e negativo se OA è sul lato negativo.
Si noti adesso in figura che il triangolo OPA è un triangolo rettangolo in A. Avendo infatti detto che OA è la proiezione del raggio unitario OP ne consegue che OP e OA sono perpendicolari tra loro.
Inoltre abbiamo che:
\overline{AP} \cong \overline{OB}
ricapitoliamo dunque le informazioni note sui lati del triangolo rettangolo OPA:
\overline{OP}=1 \\\,\\ \overline{OA} = cos\alpha \\\,\\ \overline{AP}=sen\alpha
applichiamo adesso il teorema di Pitagora:
\overline{OA}^{2}+\overline{AP}^{2}= \overline{OP}^{2}
il che significa scrivere:
cos^{2}\alpha + sen^{2}\alpha =1
ecco dimostrata la relazione fondamentale della goniometria.
Dimostrazione mediante l’equazione della circonferenza goniometrica
Il secondo tipo di dimostrazione utilizza il concetto di circonferenza in geometria analitica. In generale, una circonferenza che ha centro nell’origine ed un raggio r ha equazione del tipo:
x^{2}+y^{2}=r^{2}
nel caso della circonferenza goniometrica, il raggio r ha valore unitario, per cui vale l’equazione diventa:
x^{2}+y^{2}=1
il che significa che dato un qualsiasi punto P(xP,yP) appartenente alla circonferenza, vale la relazione:
x_{P}^{2}+y_{P}^{2}=1
ma per la definizione stessa di seno e coseno possiamo scrivere che:
x_{P}= cos\alpha \\\,\\ y_{P} =sen\alpha
ne risulta ancora una volta che:
cos^{2}\alpha + sen^{2}\alpha =1
