Raggio di una circonferenza in geometria analitica

In questo appunto vediamo in cosa consiste il raggio di una circonferenza ed in che modo è possibile calcolarlo. In particolare vedremo:

• Definizione di raggio di una circonferenza.
• Come calcolare il raggio
  • formula distanza di un punto della circonferenza dal centro
  • formula a partire dall’equazione della circonferenza in forma canonica
• Esempi di esercizi

Definizione di raggio di una circonferenza

La definizione del raggio di una circonferenza è insita all’interno della definizione di circonferenza come luogo geometrico di punti:

“La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano che sono equidistanti da un punto detto centro della circonferenza. Tale distanza è detta raggio della circonferenza “

dunque il raggio altro non è che la distanza di qualsiasi punto appartenente alla circonferenza dal centro:

Nei paragrafi successivi vedremo in che modo calcolare il raggio.

Come calcolare il raggio di una circonferenza

Applichiamo adesso algebricamente la definizione vista nel paragrafo precedente di circonferenza. Date le coordinate di un generico centro C(p,q) e noto il raggio della circonferenza, questa può essere definita come l’insieme dei punti P(x,y), la cui distanza dal centro è proprio pari al raggio:

\sqrt{\left( x-p\right)^{2}+\left(y-q \right)^{2}}= r 

sappiamo inoltre che l’equazione della circonferenza in forma canonica è del tipo:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0

Si può dimostrare che, questa può essere scritta nella forma:

\left(x+\frac{a}{2} \right)^{2}+ \left(y+\frac{b}{2} \right)^{2}=\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-c

avremo dunque che:

r^{2} = \frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-c \Rightarrow \mathbf{r=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}}

che risulta definita solo se l’argomento della radice è maggiore o uguale a zero (condizione necessaria ma non sufficiente affinché un polinomio in grado due in x e in y rappresenti una circonferenza). Ne deduciamo dunque le due formule più importanti per il calcolo del raggio.

Formula del raggio come distanza di un punto della circonferenza dal centro

Note le coordinate del centro C(p,q) della circonferenza ed un punto A(x_A, y_A) ad essa appartenente è possibile calcolare dunque il raggio attraverso la formula:

r = \sqrt{\left(x_{A} - p \right)^{2}+\left(y_{A} - q \right)^{2}}

Formula a partire dall’equazione della circonferenza in forma canonica

Se la circonferenza è espressa nella sua forma canonica, allora il raggio può essere dunque calcolato attraverso la formula:

r=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}

Ricordiamo ancora una volta che questa formula è valida solo se l’argomento della radice è maggiore o uguale a zero. Se così non fosse, allora l’equazione di secondo grado in x e in y riportata in forma canonica non rappresenta una circonferenza!

Nel paragrafo successivo vediamo alcuni esempi di esercizi in cui vengono utilizzate queste due formule.

Esempi di esercizi

Calcolare nei seguenti esercizio il raggio data o l’equazione della circonferenza oppure le coordinate del cento C e di un suo punto A

Esempio 1

Risolvere l’esercizio per l’equazione x²+y²+6x-6y=0

Applichiamo dunque la formula del raggio:

r=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \frac{1}{2}\sqrt{(6)^{2}+(-6)^{2}-4(0)} =   \frac{1}{2}\sqrt{36+36} =   \frac{1}{2}\sqrt{72} = 3\sqrt{2} \\\,\\\, \Rightarrow\\\, \\ \mathbf{r=3\sqrt{2}}

Esempio 2

Risolvere l’esercizio sapendo che la circonferenza ha centro in C(3,2) ed è passante per il punto A(1,4)

Pr risolvere l’esercizio calcoliamo la distanza tra i due punti:

r = \sqrt{\left(x_{A} - p \right)^{2}+\left(y_{A} - q \right)^{2}} = \sqrt{\left(1 - 3\right)^{2}+\left(4 - 2 \right)^{2}}=\sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}  \\\,\\\, \Rightarrow\\\, \\ \mathbf{r=2\sqrt{2}}

Esempio 3

Risolvere l’esercizio per l’equazione 2x²+2y²-3x+3y-2=0

Prima di applicare la formula del raggio notiamo che l’equazione non è scritta in forma canonica in quanto i coefficienti dei termini al quadrato sono diversi da uno. Riscriviamola dividendo entrambi i membri per due:

2x^{2}+2y^{2}-3x+3y-2=0  \\\,\\\Rightarrow \,\\\,\\\mathbf{x^{2} + y^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}y-1=0}

adesso possiamo applicare la formula del raggio:

r=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \frac{1}{2}\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4(1)} =  \frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}-4} \\\,\\ \\\,\\ = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{9+9-16}{4}} =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\\mathbf{r=\frac{\sqrt{2}}{4} }

Esempio 4

Risolvere l’esercizio conoscendo le coordinate del centro della circonferenza C(2,2) e di un suo punto A(5,6)

Calcoliamo la distanza del punto A dal centro:

r=\sqrt{\left(5 - 2 \right)^{2}+\left(6 -2 \right)^{2}}  = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \\\,\\ \mathbf{r=5}

Esempio 5

Risolvere l’esercizio per l’equazione x²+y²+2x-y+5=0

Applichiamo la formula:

r=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} =\frac{1}{2}\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}-4(5)}  = \frac{1}{2}\sqrt{4+1-20} =  \frac{1}{2}\sqrt{-15} 

poiché l’argomento della radice è negativo, possiamo concludere che l’equazione data non rappresenta una circonferenza.