In questo appunto vediamo in che modo calcolare la misura del raggio della circonferenza inscritta e del raggio della circonferenza circoscritta in un generico triangolo. Per entrambi i casi utilizzeremo due approcci, uno più semplice e legato a concetti di geometria piana ed il secondo più ostico che richiede conoscenze di goniometria e trigonometria. Per questo secondo approccio si consiglia di conoscere la formula di Erone per il calcolo dell’area di un generico triangolo, le formule di Briggs ed il teorema dei seni.
In questo appunto vedremo:
- Come calcolare il raggio della circonferenza inscritta in un generico triangolo
- Come calcolare il raggio della circonferenza circoscritta in un generico triangolo
- Esempi di esercizi
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Come calcolare il raggio della circonferenza inscritta in un generico triangolo
Una circonferenza si dice inscritta in un triangolo se è tangente a tutti e tre i lati. Affinché ciò accada il centro della circonferenza deve essere equidistante a tutti e tre i lati del triangolo e tale distanza coincide con il raggio della circonferenza (si ricordi che la distanza di un punto da un segmento è sempre perpendicolare al segmento). Ciò accade se il centro della circonferenza coincide con l’incentro del triangolo, ovvero con il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni del triangolo. Per ciascun triangolo esiste una ed una sola circonferenza ad esso inscritta:
Vediamo nei prossimi paragrafi come è possibile calcolare il raggio della circonferenza inscritta ad un triangolo.
Formula con area e semiperimetro del triangolo
La formula per calcolare il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo è piuttosto semplice:
r= \frac{A}{p}
dove A è l’area del triangolo e p è il suo semiperimetro. Ma da dove deriva tale formula? Consideriamo l’immagine del precedente paragrafo. Possiamo dire che l’area del triangolo ABC sia data dalla somma delle aree dei triangoli AOB BOC e AOC. Ciascuna delle aree di questi triangoli è data dal semiprodotto della sua base (AB, BC o AC a seconda del triangolo) per l’altezza. Ma l’altezza di questi triangoli coincide proprio con il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo. Possiamo dunque scrivere:
A_{ABC} = A_{AOB}+A_{BOC}+A_{AOC}= \frac{\overline{AB}\,r}{2}+\frac{\overline{BC}\,r}{2}+\frac{\overline{AC}\,r}{2}
possiamo raccogliere r/2:
A_{ABC} = \frac{\overline{AB}\,r}{2}+\frac{\overline{BC}\,r}{2}+\frac{\overline{AC}\,r}{2} = \frac{r}{2} (\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC})
Ma AB+BC+AC è il perimetro P del triangolo e quindi è il doppio del semiperimetro:
A_{ABC} = \frac{r}{2} (\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC})= \frac{r}{2} 2p= rp
dunque l’area del triangolo è data dal prodotto del raggio della circonferenza inscritta per il semiperimetro del triangolo stesso. Possiamo dunque ricavare la formula inversa:
r= \frac{A}{p}
Ecco dunque dimostrata la formula per il calcolo del raggio della circonferenza inscritta.
Derivazione della formula di Erone
Consideriamo la formula ottenuta nel paragrafo precedente e sostituiamo l’area con la formula di Erone dove a,b e c sono i lati del triangolo:
r = \frac{A}{p} = \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p} = \sqrt{\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p^{2}} } =\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} }
adesso moltiplichiamo numeratore e denominatore per p-a:
r= \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} } = \frac{p-a}{p-a}\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} }= \\\,\\ = (p-a) \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p(p-a)^{2}} }
semplifichiamo:
r= (p-a) \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p(p-a)^{2}} } = (p-a)\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)} }
Dalle formule Briggs sappiamo che:
tan \, \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)} }
dunque possiamo concludere che:
r = (p-a) tan\, \frac{\alpha}{2}
allo stesso modo si può dimostrare che:
r = (p-b) tan\, \frac{\beta}{2} \\\,\\ r = (p-c) tan\, \frac{\gamma}{2}
ecco dunque dimostrata un’altra formula per il calcolo della circonferenza inscritta al triangolo!
Come calcolare il raggio della circonferenza circoscritta in un generico triangolo
Una circonferenza si dice circoscritta ad un triangolo se i vertici del triangolo appartengono alla circonferenza e quindi sono tutti e tre equidistanti dal centro della circonferenza. In questo caso il centro della circonferenza coincide con il circocentro del triangolo, ovvero il punto di incontro degli assi dei tre lati del triangolo. Consideriamo dunque un generico triangolo e la circonferenza circoscritta:
vedremo di seguito due modi con il quale è possibile calcolare il raggio della circonferenza circoscritta. Il primo utilizza concetti di geometria, mentre il secondo utilizza il teorema dei seni e quindi concetti di goniometria.
Formula dalla geometria piana
Data una circonferenza circoscritta ad un triangolo vale il teorema:
il raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo è data dal prodotto della misura dei tre lati del triangolo per il quadruplo dell’area dello stesso.
Proviamo a dimostrare tale teorema, considerando un generico triangolo e la circonferenza ad essa circoscritta. Consideriamo il lato CB come la base del triangolo e disegniamo rispetto ad esso l’altezza h ed il diametro della circonferenza passante per il vertice A e la cui seconda estremità la indicheremo con D. Congiungiamo inoltre D con con C per definire un secondo triangolo ADC:
Adesso possiamo fare le seguenti considerazioni:
- L’angolo ABC è congruente all’angolo ADC a causa del fatto che entrambi insistono sullo stesso arco alla circonferenza AC
- L’angolo AHB è un angolo retto in quanto formato dalla base e dall’altezza del triangolo
- ACD è un angolo retto in quanto il triangolo ACD è inscritto in una semicirconferenza (l’angolo ACD insiste sul diametro della circonferenza AD)
Adesso, poiché per il secondo corollario del primo criterio di similitudine, due triangoli rettangoli con un angolo acuto corrispondente congruente (nel nostro caso ABC e ADC) sono simili, possiamo concludere che ABH e ACD sono due triangoli rettangoli simili.
Possiamo dunque scrivere i seguenti rapporti di similitudine tra i lati:
\overline{AC}:\overline{AH} =\overline{AD}:\overline{AB}
ma AD è il diametro della circonferenza e quindi la sua misura è il doppio del raggio. Eseguendo la sostituzione otteniamo:
\overline{AC}:\overline{AH} =2r:\overline{AB}
esplicitiamo r:
r= \frac{\overline{AC}\,\overline{AB}}{2\overline{AH}}
se moltiplichiamo numeratore e denominatore per il lato BC possiamo scrivere:
r= \frac{\overline{AC}\,\overline{AB}\,\overline{BC}}{2\overline{AH}\,\overline{BC}}
ma il prodotto AH per BC è il prodotto della base per l’altezza del triangolo ABC. Dunque tale prodotto è pari al doppio dell’area del triangolo:
r= \frac{\overline{AC}\,\overline{AB}\,\overline{BC}}{2 *2A_{ABC}}=\frac{\overline{AC}\,\overline{AB}\,\overline{BC}}{4A_{ABC}}
ecco dunque dimostrata la formula del teorema sopra riportato.
Derivazione dal teorema dei seni
Vediamo adesso come calcolare il raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo utilizzando il teorema dei seni. Si ricordi che il teorema dei seni afferma:
In un qualsiasi triangolo, il rapporto tra la lunghezza di un lato ed il seno dell’angolo ad esso opposto è costante.
dove si può dimostrare che tale costante (vedi link teorema dei seni) è pari al diametro della circonferenza circoscritta.
Possiamo dunque scrivere:
\frac{\overline{AB}}{sin(\gamma)}=\frac{\overline{BC}}{sin(\alpha)}=\frac{\overline{AC}}{sin(\beta)}=2r
dunque il raggio della circonferenza circoscritta è data dal rapporto della misura di uno dei due lati con il doppio del seno dell’angolo a questo opposto:
r= \frac{\overline{AB}}{2sin(\gamma)}=\frac{\overline{BC}}{2sin(\alpha)}=\frac{\overline{AC}}{2sin(\beta)}
Esempi di esercizi
Esercizio 1
Sia dato il triangolo avente come lati a = 32; b = 28; c = 27 e l’altezza relativa a b pari a 25,55. Calcolare il raggio della circonferenza inscritta e della circonferenza circoscritta al triangolo.
Partiamo dal raggio della circonferenza inscritta. La formula più semplice e derivante dalla geometria piana ci dice che:
r_{inscritta}= \frac{A}{p}
dove A è l’area del triangolo e p il suo semiperimetro. Calcoliamo dunque entrambi questi valori:
A= \frac{bh}{2}=\frac{28*25,55}{2}= 357,7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ p =\frac{a+b+c}{2} = \frac{32+28+27}{2} = 43,5
possiamo adesso calcolare il raggio:
r=\frac{A}{p}=\frac{357,7}{43,5} \approx 8,22
Avendo già calcolato l’area del triangolo, possiamo dunque calcolare il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo:
r=\frac{abc}{4A}=\frac{32*28*27}{4*357,7} \approx 16,9
Esercizio 2
Calcolare il raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo avente un lato pari a 45cm e l’angolo ad esso opposto pari a 28°.
Pur non avendo altra informazione del triangolo, possiamo applicare la formula derivante dal teorema dei seni per calcolare il raggio della circonferenza circoscritta:
r= \frac{a}{2sin\alpha}= \frac{45}{2 sin28°} \approx 47,93cm
si noti che data la circonferenza di raggio 47,93 cm esistono infiniti triangoli aventi un lato pari a 45 cm e angolo opposto a tale lato pari a 28° per i quali la circonferenza risulta circoscritta.
