Risolviamo in questo appunto un quarto esercizio sul moto uniformemente accelerato. L’esercizio proposto è il tipico esercizio in cui un corpo si muove alternativamente di moto rettilineo uniforme e di moto uniformemente accelerato. Per comprendere a pieno il contenuto di questo appunto è necessario avere familiarità con concetti come grandezze vettoriali, moto rettilineo uniforme, moto uniformemente accelerato, legge oraria e accelerazione.

L’esercizio proposto è infatti un esempio con difficoltà alta dell’applicazione della legge oraria del moto uniformemente accelerato.

Prima di procedere con lo svolgimento dell’esercizio ti ricordiamo che per accedere ad altri appunti di fisica I o di cinematica puoi visitare l’indice degli argomenti. Qui troverai anche ulteriori esercizi sul moto uniformemente accelerato.

Passiamo adesso alla traccia ed allo svolgimento di questo quarto esercizio sul moto uniformemente accelerato.

Quarto esercizio sul moto uniformemente accelerato

Un ciclista viaggia ad una velocità di 20 km/h. Ad un certo punto decide di affrontare gli ultimi 10 km alla sua massima velocità che raggiunge accelerando in maniera costante con accelerazione di 0,001 km/s2 e poi mantiene questa velocità fino al traguardo. Sapendo che ha percorso gli ultimi 10 km in 18 minuti calcolare:

1. quanto tempo ha impiegato il ciclista per raggiungere la sua velocità massima
2. quale distanza ha percorso per raggiungere la sua velocità massima
3. quanto tempo in meno ci ha impiegato rispetto al caso in cui non avesse accelerato?
Risoluzione

Prima di partire con la risoluzione del problema osserviamo se i dati sono espressi con le stesse unità di misura. Velocità ed accelerazione esprimono l’unità di misura spaziale entrambi i km mentre l’unità di misura temporale cambia. La velocità è infatti espressa in km/h mentre l’accelerazione è espressa in km/s2. Trasformiamo dunque l’accelerazione da km/s2 a km/h2 . Sapendo che in un’ora ci sono ben 3600 secondi (60 minuti + 60 secondi), moltiplichiamo per il quadrato di 3600 l’accelerazione:

0,001km/s^{2} = 0,001 km/h^{2}*3600^{2} = 12960km/h^{2}

Anche il tempo che il ciclista impiega a percorrere gli ultimi 10 km è espresso in un’unità di misura diversa dalle ore. Trasformiamo dunque i minuti in ore:

18min =18*\frac{1}{60}h= 0,3h

Adesso possiamo impostare il problema. Chiamiamo con A il punto in cui il ciclista ha una velocità iniziale di 20km/h e decide di accelerare. B sarà il punto in cui il ciclista raggiunge la sua massima velocità e C è il punto di arrivo. Immaginando il moto in una dimensione, possiamo rappresentare graficamente la situazione dell’esercizio:

quarto esercizio sul moto uniformemente accelerato

 

proviamo dunque a scrivere la legge oraria del moto partendo dalla generica legge oraria del moto uniformemente accelerato per il tratto AB:

x_{B} = x_{A} + v_{A}(t_{B}-t_{A}) +\frac{1}{2}a_{AB}(t_{B}-t_{A})^{2}

e adesso scriviamo la legge oraria del moto rettilineo uniforme per il tratto BC:

x_{C} = x_{B} + v_{B}(t_{C}-t_{B})

riportiamo il valore di x0B della prima equazione nella seconda:

x_{C} = x_{A} + v_{A}(t_{B}-t_{A}) +\frac{1}{2}a_{AB}(t_{B}-t_{A})^{2} + v_{B}(t_{C}-t_{B})

sostituiamo adesso alle grandezze i dati del nostro problema:

10 = 0 + 20(t_{B}-0) +\frac{1}{2}12960(t_{B}-0)^{2} + v_{B}(0,3-t_{B})\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\10 =  20t_{B} +\frac{1}{2}12960t_{B}^{2} + v_{B}(0,3-t_{B})

abbiamo dunque un’equazione, la nostra legge oraria, e due incognite v0B e tB. Per risolvere l’esercizio ci serve dunque un’altra relazione che metta in relazione le due incognite. Nel tratto AB il ciclista di muove di moto uniformemente accelerato. Sappiamo che l’accelerazione in quel tratto è data dal rapporto della variazione della velocità nell’intervallo di tempo in cui è intercorsa:

a_{AB}=\frac{v_{B}-v_{A}}{t_{B}-t_{A}} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\12960=\frac{v_{B}-20}{t_{B}-0} =\frac{v_{B}-20}{t_{B}}

esprimiamo l’equazione in funzione di vB:

v_{B} = 12960t_{B}+20

adesso che abbiamo una relazione che lega vB a tB è possibile utilizzarla nella nostra legge oraria. Sostituendo a vB quanto appena scritto, abbiamo:

10 =  20t_{B} +\frac{1}{2}12960t_{B}^{2} + v_{B}(0,3-t_{B}) \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\10 =  20t_{B} +\frac{1}{2}12960t_{B}^{2} + (12960t_{B}+20)(0,3-t_{B})

risolviamo questa equazione in funzione di tB:

10=20t_{B} +6480t^{2}_{B} + 3888t_{B}+6-12960t^{2}_{B}-20t_{B}\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 10 = -6480t_{B}^{2}+3888t_{B}+6\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 6480t_{B}^{2}-3888t_{B}+4=0

risolviamo l’equazione di secondo grado:

 

t_{B1,2} =\frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b}{2}^{2}-ac}}{a} =\frac{1944 \pm \sqrt{3779136-25920}}{6480}= \frac{1944 \pm 1937,32}{6480} 

abbiamo dunque due soluzioni:

t_{1B} \approx \frac{3881,32}{6480}  \approx 0,59h \\\,\\ t_{2B} \approx \frac{6,68}{6480}  \approx 0,001h

l’esercizio ha dunque due soluzioni dal punto di vista matematico. Ma questo ha senso? Consideriamo il nostro problema. La seconda soluzione è abbastanza intuibile. Il nostro ciclista raggiunge la velocità desiderata in circa 0,001 ore (3,7 secondi!), ovvero in pochi secondi e poi procede alla sua velocità massima.

La prima soluzione è invece molto controintuitiva. Infatti il tempo t1B (0,59h) è maggiore del tempo totale tC (0,3h). La nostra esperienza quotidiana ci permette di dire che questa seconda soluzione non ha senso in quanto il progredire del tempo è unidirezionale (il tempo fluisce in avanti) . In questa seconda soluzione il ciclista arriva ad una velocità di 7782km/h in circa 0.6 ore di accelerazione e poi solo il tornare indietro nel tempo consente di raggiungere il punto finale nell’istante atteso!

Il secondo punto del problema richiede di calcolare la distanza che il ciclista ha dovuto percorrere per raggiungere la sua velocità massima. Essa coincide con il punto xB del nostro problema. Consideriamo la seconda soluzione del problema:

x_{B} = x_{A} +v_{A}(t_{B}-t_{A})+\frac{1}{2}a_{AB}(t_{B}-t_{A})^{2}

sostituiamo nell’equazione i dati del problema:

x_{B} = 0 + 20(0,001-0)+\frac{1}{2}12960(0,001-0)^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\x_{B} = 0,0275km

dunque il ciclista deve percorrere 27,5 metri per raggiungere la velocità desiderata.

Il terzo punto richiede di calcolare quanto tempo risparmia il ciclista con questa accelerata. Calcoliamo quanto tempo avrebbe percorso il ciclista continuando a 20 km/h di moto rettilineo uniforme. Sappiamo che la velocità nel moto rettilineo uniforme è data dal rapporto tra lo spostamento percorso ed il tempo necessario per percorrerlo:

 

v_{A} =\frac{x_{C}-x_{A}}{t_{C2}-t_{A}}\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\t_{C2} = \frac{x_{C}-x_{A}}{v{A}} +t_{A}

avendo chiamato tC2 il tempo che impiegherebbe il ciclista per percorrere i 10 km a 20km/h. Sostituiamo all’equazione i dati noti:

t_{C2} = \frac{10}{20} +0 =0,5h

dunque il tempo risparmiato è pari alla differenze tra tc2 e tC:

\Delta t = t_{C2}-t_{C} = 0,5-0,3=0,2h

il ciclista risparmia circa 0,2h ovvero 12 minuti.

Dunque in questo quarto esercizio sul moto uniformemente accelerato abbiamo visto come la matematica possa portare a soluzioni che non sempre hanno senso nella realtà. L’accettare o rifiutare l’una o l’altra soluzione dipende dal contesto. Saper interpretare il problema è fondamentale per la giusta formulazione della soluzione.

Quarto esercizio sul moto uniformemente accelerato