Dopo aver introdotto il concetto di errore di una misura vediamo in cosa consiste la propagazione dell’errore. Come l’errore si genera in una misura, esso si propaga nel calcolo di parametri che derivano da quello misurato. Vediamo nel seguente appunto come l’errore si propaga a seconda del tipo di operazioni eseguite.

Propagazione dell’errore nel caso di addizioni o sottrazioni

Il caso delle addizioni e sottrazioni è quello più semplice da spiegare dal punto di vista logico. Immaginiamo di aver misurato due pesi rispettivamente di 5 kg e di 7kg con un errore associato di 0,05 kg per ciascuna misura (limite suggerito dalla sensibilità dello strumento). Il primo oggetto quindi avrà peso:

5kg +- 0,05kg

E quindi il valore vero sarà situato nell’intervallo tra 4,95 kg e 5,05 kg. Allo stesso modo il secondo oggetto sarà situato nell’intervallo 6,95 kg – 7,05 kg.

Ne consegue che la somma del peso dei due oggetti sarà situata in un intervallo caratterizzato dall’estremo massimo e minimo possibile. L’estremo massimo sarà dato dalla somma dei pesi massimi possibili suggeriti dall’errore: 5,05 kg + 7,05 kg = 12,1 kg. L’estremo minimo per lo stesso motivo sarà dato da: 4,95 kg+6,95 kg = 11,9 kg. La somma dei due oggetti quindi sarà 12 kg +- 0,1 kg. L’errore associato alla somma è dato quindi dalla somma dei singoli errori.

Anche nel caso della differenza tra due misure l’errore sarà dato dalla somma degli errori. Immaginiamo di aver misurato un oggetto con peso 8 kg +-0,05 kg. Da questo oggetto viene tolto un componente che viene pesato con valore 3 kg+0,05 kg. Quanto sarà il peso della parte restante? Anche qui bisogna calcolare gli estremi massimo e minimo.

Oggetto A oscilla tra 7,95 kg e 8,05 kg

Oggetto B oscilla tra 2,95 kg e 3,05 kg

L’estremo inferiore dell’intervallo sarà dato dalla differenza tra il minor peso di A ed il maggior peso di B (7,95-3,05) e sarà 4,9. L’estremo superiore sarà dato dalla differenza tra il maggior peso di A ed il minor peso di B (8,05-2,95) e sarà 5,1. Il peso della parte restante sarà dunque 5 kg -0,1.

In conclusione sia nel caso della somma che della differenza tra due misure l’errore è dato dalla somma degli errori delle singole misure.

Propagazione dell’errore nel caso del prodotto per una costante

Quando un valore misurato è moltiplicato per una costante, l’errore associato a tale prodotto è dato dal prodotto della costante per l’errore della misura originaria. Quindi indicando con k la costante e con b la grandezza misurata si ha:

propagazione dell'errore: prodotto per una costante
Propagazione dell’errore nel caso del prodotto tra due misure

Si consideri inizialmente il caso del prodotto tra due grandezza a e b. Indichiamo con c il loro prodotto. Anche in questo caso per sapere come si propagano gli errori di a e di b sulla grandezza c occorre calcolare gli estremi inferiori e superiori dell’intervallo intorno a c.

Immaginando per semplicità che entrambi i fattori della moltiplicazione siano positivi e che anche i loro errori siano positivi, potremo considerare come limite superiore dell’intervallo il  valore:

propagazione dell'errore: prodotto

In generale e gli errori sono piccoli, l’ultimo addendo della somma sopra riportata è trascurabile. Ne consegue che:

propagazione dell'errore:: prodotto tra due fattori

Allo stesso modo il limite inferiore dell’intervallo sarà dato da:

propagazione dell'errore: prodotto estremo ifneriore

assumendo trascurabile ancora l’ultimo termine si ottiene ancora una volta:

propagazione dell'errore: prodotto estremo inferiore delta

Calcolando quindi l’errore relativo si ottiene:

propagazione dell'errore relativo: prodotto

questa relazione ci dice che l’errore relativo di un prodotto è dato dalla somma degli errori relativi dei singoli fattori. Questa regola vale anche quando si ha a che fare anche con più di due fattori. Il calcolo dell’errore relativo di c è così molto più semplice. Una volta ottenuto il suo valore è possibile calcolare l’errore assoluto di c. Attenzione! la formula sopra è stata ottenuta nel caso specifico di valori tutti positivi. In realtà, nel caso più general possibile si ha:

propagazione dell'errore relativo
Propagazione dell’errore nel caso della divisione tra due misure

Consideriamo adesso il caso della divisione tra due misure c=a/b. Come al solito bisogna calcolare il limite superiore ed inferiore dell’intervallo. Anche in questo caso supponiamo per semplicità che tutte le misure siano positive. Il limite superiore sarà dato dal rapporto del massimo valore di a con il minimo valore di b:

propagazione dell'errore: quoziente estremo superiore

moltiplicando numeratore e denominatore per 1+ Δb/b si ottiene:

propagazione dell'errore: sviluppo estremo superiore quoziente

In generale sono trascurabili I valori ΔaΔb/ab e Δb2/b2. Si ottiene perciò:

propagazione dell'errore: quoziente semplificazione estremo superiore

e:

propagazione dell'errore quoziente

Calcolando ancora l’errore relativo:

propagazione dell'errore relativo nel caso di un rapporto tra due variabili

Lo stesso risultato lo si ottiene calcolando il limite inferiore dell’intervallo. In generale si può quindi dire che l’errore relativo di un quoziente è dato dalla somma degli errori relativi del numeratore e del denominatore della divisione. Considerando che lo stesso risultato è stato ottenuto anche con il prodotto tra fattori, si può concludere che quando si moltiplicano e si dividono due o più misure, l’errore relativo finale sarà dato dalla somma degli errori relativi delle singole misure coinvolte.

Propagazione dell’errore nel caso di elevamento a potenza di una misura

Si tratta di un caso particolare del prodotto in quanto si sta moltiplicando per se stesso un numero n volte. L’errore relativo associato al risultato di un’operazione di potenza è dato da n volte l’errore relativo della base della potenza.

propagazione dell'errore: elevamento a potenza
propagazione dell'errore relativo nel caso di elevamento a potenza
Propagazione dell’errore nel caso di una funzione generica

Abbiamo visto nei paragrafi precedenti quali sono le regole da applicare nel caso di operazioni quali somma, differenza, quoziente, prodotto ed elevamento a potenza. Vediamo adesso in che modo è possibile calcolare la propagazione dell’errore per una generica funzione f(x) calcolata nel punto x0:

propagazione dell'errore: funzione generica

considerando che ad x0 sia associato un errore:

propagazione dell'errore: valore x0

dove, se assumiamo per semplicità che x0 abbia valore positivo, x0 + δx0 è il valore massimo e x0- δx0 è il valore minimo. Al valore massimo ed al valore minimo corrisponderanno quindi dei valori della funzione f(x). Questi saranno rispettivamente f( x0 + δx0 ) e f ( x0 – δx0). Ne consegue quindi che l’incertezza del valore f(x0) è rappresentata dall’intervallo che ha come estremi f( x0 + δx0 ) e f ( x0 – δx0). Se nell’intervallo ( x0 + δx0; x0 – δx0) la funzione f(x) è crescente allora f( x0 + δx0 )sarà il valore massimo dell’intervallo e f ( x0 – δx0) sarà il valore minimo. Se la funzione è decrescente, la situazione si inverte:

propagazione dell'errore: funzione crescente
propagazione dell'errore: funzione decrescente

In generale gli intervalli rappresentati dai punti f(x0); f( x0 + δx0 ) ed f(x0); f( x0 – δx0 ) non sono della stessa ampiezza. Tuttavia, se δx0 è molto piccolo, la porzione di grafico determinata dalle ascisse x0 + δx0 e x0 – δx0 è talmente piccola ce può essere approssimata dalla retta tangente alla funzione nel punto x0.

propagazione dell'errore:approssimazione retta

Come si evince dal grafico, la retta “corregge” la posizione di f( x0 + δx0 ) e f( x0 – δx0 ) (vedere tratteggiato in rosso), in modo tale da avere degli intervalli uguali. Le correzioni mostrate in figugura sono state rese macroscopiche per chiarezza.

Poiché la retta garantisce l’uguaglianza tra i due intervalli si può scrivere:

propagazione dell'errore: simmetria con approssimazione retta

Inoltre ricordiamo che la retta tangente in x0 alla funzione f(x) altro non è che la derivata della funzione nel punto x0. Ne consegue che il valore δ f è il prodotto della derivata per il valore δx:

propagazione dell'errore: formula generica

le equazioni sopra mostrate sono equivalenti. In realtà nella seconda è stato aggiunto il modulo per trattare il caso generico più generico. Infatti, la derivata di una funzione può assumere valore negativo se la funzione primitiva è decrescente. In questo modo quindi abbiamo ottenuto la formula della propagazione dell’errore per una generica funzione f(x)

Propagazione dell’errore nel caso di una funzione dipendente da più variabili?

Cosa succede però se la funzione dipende da più variabili? Immaginiamo il caso di una funzione f(x, y) che dipende dalle due variabili x e y. Consideriamo due misure delle grandezze x e y:

propagazione dell'errore: 2 variabili indipendenti

e supponiamo per semplicità che queste due variabili siano indipendenti tra di loro. In che modo l’errore su queste misure si propaga sulla grandezza indiretta f(x0, y0)? In questo caso si esntende la formula ottenuta nel paragrafo precedente nel caso di una funzione dipendente da un’unica variabile. I valori estremi di x0 e y0 si propagano su f(x0, y0) nel seguente modo:

propagazione dell'errore: formula generale

Se la funzione f dipende da n variabili, allora dovrà essere calcolata la derivata per ciascuna variabile. Le derivate sopra riportate dovranno essere calcolate rispettivamente nei punti x0 e y0. E’ importante notare come da questa funzione generica è possibile ricavare tutte le formule riportate nei casi precedenti per addizione, sottrazione, prodotto quoziente ed elevamento a potenza. Si può quindi considerare tale formula come la formula generale di propagazione dell’errore.

In generale però, esprimere l’errore della funzione f(x0,y0) come somma dei termini in parentesi può risultare troppo pessimistico. Se le due variabili x e y sono indipendenti tra di loro ed hanno una distribuzione gaussiana casuale allora è possibile esprimere l’errore della funzione come somma quadratica dei termini riportati in parentesi. Ovvero:

propagazione dell'errore: formula generica con somma quadratica

tale espressione è limitata superiormente dalla normale somma.

Infine, ricordiamo che se non è possibile conoscere i valori degli errori e si hanno a disposizione diverse misure per ciascuna variabile, ed assumendo ancora che le misure siano indipendenti e causali, è possibile riportare la medesima formula in termini di deviazioni standard:

propagazione dell'errore: deviazioni standard

Se le variabili non sono indipendenti e si vuole ancora utilizzare le deviazioni standard, la formula di sopra si complica con ulteriori termini di covarianza.

Propagazione dell’errore
%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: