Propagazione dell’errore in una funzione generica

Vediamo in questo appunto in che modo si propaga l’errore in una funzione generica. Abbiamo già trattato i casi più semplici di nel caso di operazioni quali somma, differenza, divisione, prodotto ed elevamento a potenza. In questo appunto troverai:

• propagazione dell’errore in una funzione generica ad una variabile
• propagazione dell’errore in una funzione generica a più variabili

Errore in una funzione generica ad una variabile

Vediamo adesso in che modo è possibile calcolare la propagazione dell’errore in una funzione generica funzione f(x) calcolata nel punto x₀:

dove al valore x₀ della variabile x è associato un errore:

dove, se assumiamo per semplicità che x₀ abbia valore positivo, x₀ + δx₀ è il valore massimo e x₀ – δx₀ è il valore minimo dell’intervallo che esprime la misura di x₀. Al valore massimo ed al valore minimo corrisponderanno quindi dei valori della funzione f(x). Questi saranno rispettivamente f( x₀ + δx₀ ) e f ( x₀ – δx₀). Ne consegue quindi che l’incertezza del valore f(x₀) è rappresentata dall’intervallo che ha come estremi f( x₀ + δx₀ ) e f (x₀ – δx₀). Se nell’intervallo ( x₀ + δx₀; x₀ – δx₀) la funzione f(x) è crescente allora f(x₀ + δx₀) sarà il valore massimo dell’intervallo e f(x₀ – δx₀) sarà il valore minimo. Se la funzione è decrescente, la situazione si inverte:

In generale gli intervalli rappresentati dai punti f(x0); f( x0 + δx0 ) ed f(x0); f( x0 – δx0 ) non sono della stessa ampiezza. Tuttavia, se δx0 è molto piccolo, la porzione di grafico determinata dalle ascisse x0 + δx0 e x0 – δx0 è talmente piccola ce può essere approssimata dalla retta tangente alla funzione nel punto x0.

Come si evince dal grafico, la retta “corregge” la posizione di f( x0 + δx0 ) e f( x0 – δx0 ) (vedere tratteggiato in rosso), in modo tale da avere degli intervalli uguali. Le correzioni mostrate in figura sono state rese macroscopiche per chiarezza.

Poiché la retta garantisce l’uguaglianza tra i due intervalli si può scrivere:

Inoltre ricordiamo che la retta tangente in x0 alla funzione f(x) altro non è che la derivata della funzione nel punto x0. Ne consegue che il valore δ f è il prodotto della derivata per il valore δx:

le equazioni sopra mostrate sono equivalenti. In realtà nella seconda è stato aggiunto il modulo per trattare il caso generico più generico. Infatti, la derivata di una funzione può assumere valore negativo se la funzione primitiva è decrescente. In questo modo quindi abbiamo ottenuto la formula della propagazione dell’errore per una generica funzione f(x)

Propagazione dell’errore nel caso di una funzione dipendente da più variabili?

Cosa succede però se la funzione dipende da più variabili? Immaginiamo il caso di una funzione f(x, y) che dipende dalle due variabili x e y. Consideriamo due misure delle grandezze x e y:

e supponiamo per semplicità che queste due variabili siano indipendenti tra di loro. In che modo l’errore su queste misure si propaga sulla grandezza indiretta f(x0, y0)? In questo caso si estende la formula ottenuta nel paragrafo precedente nel caso di una funzione dipendente da un’unica variabile. I valori estremi di x0 e y0 si propagano su f(x0, y0) nel seguente modo:

Se la funzione f dipende da n variabili, allora dovrà essere calcolata la derivata per ciascuna variabile. Le derivate sopra riportate dovranno essere calcolate rispettivamente nei punti x0 e y0. E’ importante notare come da questa funzione generica è possibile ricavare tutte le formule riportate nei casi precedenti per addizione, sottrazione, prodotto quoziente ed elevamento a potenza. Si può quindi considerare tale formula come la formula generale di propagazione dell’errore.

In generale però, esprimere l’errore della funzione f(x0,y0) come somma dei termini in parentesi può risultare troppo pessimistico. Se le due variabili x e y sono indipendenti tra di loro ed hanno una distribuzione gaussiana casuale allora è possibile esprimere l’errore della funzione come somma quadratica dei termini riportati in parentesi. Ovvero:

tale espressione è limitata superiormente dalla normale somma.

Infine, ricordiamo che se non è possibile conoscere i valori degli errori e si hanno a disposizione diverse misure per ciascuna variabile, ed assumendo ancora che le misure siano indipendenti e causali, è possibile riportare la medesima formula in termini di deviazioni standard:

Se le variabili non sono indipendenti e si vuole ancora utilizzare le deviazioni standard, la formula di sopra si complica con ulteriori termini di covarianza.