In questo appunto vediamo in che modo è possibile calcolare la propagazione dell’errore nel prodotto e nella divisione. Vedremo in particolare le seguenti casistiche:

Propagazione dell’errore nel caso del prodotto per una costante

Partiamo dal caso più semplice di propagazione di errore nel prodotto per una costante. Quando un valore misurato è moltiplicato per una costante, l’errore associato a tale prodotto è dato dal prodotto della costante per l’errore della misura originaria. Quindi indicando con k la costante e con b la grandezza misurata si ha:

propagazione dell'errore: prodotto per una costante

Questo caso contiene anche quello di divisione per una costante. Infatti, dividere per una costante k vuol dire moltiplicare la misura originaria per 1/k. 

Propagazione dell’errore nel caso del prodotto tra due misure

Si consideri inizialmente il caso del prodotto tra due grandezza a e b. Indichiamo con c il loro prodotto. per sapere come si propagano gli errori di a e di b sulla grandezza c occorre calcolare gli estremi inferiori e superiori dell’intervallo intorno a c (vedi stesso approccio utilizzato nella propagazione in addizioni e sottrazioni al seguente link). Immaginando per semplicità che entrambi i fattori della moltiplicazione siano positivi e che anche i loro errori siano positivi, potremo considerare come limite superiore dell’intervallo il  valore:

propagazione dell'errore nel prodotto: estremo superiore

In generale gli errori sono piccoli, l’ultimo addendo della somma sopra riportata è trascurabile. Ne consegue che:

propagazione dell'errore nel prodotto tra due fattori

Allo stesso modo il limite inferiore dell’intervallo sarà dato da:

propagazione dell'errore nel prodotto estremo inferiore

assumendo trascurabile ancora l’ultimo termine si ottiene ancora una volta:

propagazione dell'errore nel prodotto estremo inferiore delta

Questa formula, ottenuta sia per il limite superiore che per il limite inferiore è la formula generale per il calcolo dell’errore di un prodotto. Dividendo per c si ottiene quindi l’errore relativo si ottiene:

propagazione dell'errore relativo nel prodotto

questa relazione ci dice che l’errore relativo di un prodotto è dato dalla somma degli errori relativi dei singoli fattori. Questa regola vale anche quando si ha a che fare anche con più di due fattori. Il calcolo dell’errore relativo di c è così molto più semplice. Una volta ottenuto il suo valore è possibile calcolare l’errore assoluto di c moltiplicando l’errore relativo di c proprio con c. Attenzione! la formula sopra è stata ottenuta nel caso specifico di valori tutti positivi. In realtà, nel caso più generale possibile si ha:

propagazione dell'errore relativo

Per concludere, la propagazione dell’errore nel prodotto si può calcolare partendo dalla determinazione dell’errore relativo (somma degli errori relativi dei singoli fattori. L’errore assoluto sarà quindi il prodotto della grandezza c per il suo errore relativo.

Propagazione dell’errore nel caso della divisione tra due misure

Vediamo adesso cosa succede nel caso di una divisione. Consideriamo adesso il caso della divisione tra due misure c=a/b. Come al solito bisogna calcolare il limite superiore ed inferiore dell’intervallo. Anche in questo caso supponiamo per semplicità che tutte le misure siano positive. Il limite superiore sarà dato dal rapporto del massimo valore di a con il minimo valore di b:

propagazione dell'errore: quoziente estremo superiore

moltiplicando numeratore e denominatore per 1+ Δb/b si ottiene:

propagazione dell'errore: sviluppo estremo superiore quoziente

In generale sono trascurabili I valori ΔaΔb/ab e Δb2/b2. Si ottiene perciò:

propagazione dell'errore: quoziente semplificazione estremo superiore

e:

propagazione dell'errore quoziente

Calcolando ancora l’errore relativo:

propagazione dell'errore relativo nel caso di un rapporto tra due variabili

Lo stesso risultato lo si ottiene calcolando il limite inferiore dell’intervallo. In generale si può quindi dire che l’errore relativo di un quoziente è dato dalla somma degli errori relativi del numeratore e del denominatore della divisione. Considerando che lo stesso risultato è stato ottenuto anche con il prodotto tra fattori, si può concludere che quando si moltiplicano e si dividono due o più misure, l’errore relativo finale sarà dato dalla somma degli errori relativi delle singole misure coinvolte.

 
Propagazione dell’errore nel prodotto e nella divisione
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