In questo appunto vediamo in cosa consiste il prodotto scalare tra due vettori insieme ad alcuni esempi di esercizi. Abbiamo già definito cosa è un vettore e le sue proprietà a questo link ed abbiamo parlato di scomposizione di un vettore in questo appunto. Questi concetti potranno esserti di aiuto a capire meglio quanto andremo ad affrontare nei prossimi paragrafi. In particolare l’appunto è così strutturato:

Per altri appunti di fisica I ti rimandiamo all’indice generale.

Definizione di prodotto scalare tra due vettori

Il prodotto scalare è un’operazione eseguita tra due vettori e che restituisce un numero reale. Indicando tale operazione con un punto interposto tra i due vettori, potremmo dunque scrivere:

\cdot :R^{n}*R^{n} \mapsto R

Ma in cosa consiste esattamente tale operazione? Consideriamo due generici vettori:

prodotto scalare

si dice proiezione ortogonale del vettore u nella direzione del vettore v il numero reale dato da:

u_{||}(v) = |u|cos\alpha

dove α altro non è che l’angolo compreso tra i due vettori. Si noti che la proiezione ortogonale per come definita è uno scalare e può essere considerata come il modulo della componente del vettore u nella direzione di v, o in altre parole, l’intensità del vettore u nella direzione di v. Potremmo però rappresentarla graficamente in questo modo:

prodotto scalare: proiezione di un vettore su un secondo

 

Data dunque la definizione di proiezione, possiamo dare la nostra definizione:

Il prodotto scalare tra due vettori u e v è il prodotto dell’intensità della componente di u nella direzione di v per il modulo di v:

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = |u||v|cos\alpha

In parole più semplici si può dire che è il prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dell’angolo fra di essi compreso.

Si noti dalla formula che il segno del prodotto scalare dipende dal segno del coseno dell’angolo compreso tra i due vettori (i moduli sono forzatamente positivi). Abbiamo dunque che il segno del risultato è:

  • positivo se 0° <α<90° o 270°<α<360°
  • nullo se α=90° o 270°
  • negativo se 90°<α<270°

Dunque, il risultato di tale operazione risulta essere nullo o se i vettori sono ortogonali tra loro oppure se uno dei moduli di uno dei due vettori è pari a zero. Ciò accade se uno dei due vettori è il vettore nullo. Si può dimostrare che se sono note le componenti rispetto ad un sistema di assi cartesiani dei vettori di partenza, allora il prodotto scalare può essere calcolato anche come somma dei prodotti delle singole componenti dei due vettori:

\overrightarrow{u} (u_{x}, u_{y},u_{z})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\\overrightarrow{v} (v_{x}, v_{y},v_{z}) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}+u_{z}v_{z}
Proprietà del prodotto scalare tra due vettori

Vediamo in questo paragrafo quali sono le proprietà di tale operazione.

Proprietà commutativa

Tale operazione gode della proprietà commutativa. Il che vuol dire che possiamo scrivere:

\overrightarrow{u} \cdot   \overrightarrow{v} =\overrightarrow{v} \cdot   \overrightarrow{u} 

ciò significa che moltiplicare la proiezione di u nella direzione di v per il modulo di v e moltiplicare la proiezione di v nella direzione di u per il modulo di u è equivalente

Proprietà distributiva

E’ valida la proprietà distributiva rispetto alla somma:

(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}) + (\overrightarrow{u }\cdot \overrightarrow{w}).

Linearità

Si tratta di un’operazione lineare, il che vuol dire che se uno dei due vettori oggetto del prodotto è il risultato di una combinazione lineare di due o più vettori, allora la combinazione lineare si ripercuote sul risultato:

(\lambda\overrightarrow{u} + \gamma\overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = \lambda(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}) + \gamma(\overrightarrow{v }\cdot \overrightarrow{w}).

Proprietà associativa

Questa operazione non gode della proprietà associativa. Non è quindi possibile poter scrivere:

(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) \cdot\overrightarrow{w}

Infatti, il risultato del primo prodotto sarebbe uno scalare e quindi non sarebbe possibile eseguire nuovamente l’operazione von il vettore successivo.

Relazione con il modulo di un vettore

Per come è stato definito, il prodotto scalare, se applicato ad un vettore con se stesso restituisce il quadrato del modulo di tale vettore:

\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{u}= |\overrightarrow{u}||\overrightarrow{u}|cos\alpha = |\overrightarrow{u}|^{2}

Angolo tra due vettori

Se è noto il prodotto scalare tra due vettori e sono noti i loro moduli, è allora possibile calcolare l’angolo compreso fra essi:

cos\alpha = \frac{\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\\alpha = arccos \left(\frac{\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}\right)
Esempi di esercizi

Esercizio 1

Calcolare il prodotto scalare dei seguenti vettori:

\overrightarrow{u}= 3\overrightarrow{x} - 4\overrightarrow{y} \\\,\\ \overrightarrow{v}= -2\overrightarrow{x} +6\overrightarrow{y}

e l’angolo tra di essi compreso.

Poiché non è noto l’angolo ma sono note le componenti, possiamo calcolare il prodotto scalare utilizzando la seguente formula:

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y} = 3*(-2) +(-4)*6 = -6-24=-30

Adesso ci serve conoscere i moduli dei due vettori per poter calcolare l’angolo fra essi compreso:

|\overrightarrow{u}| = \sqrt{u_{x}^{2}+u_{y}^{2}} = \sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \\\,\\ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} = \sqrt{(-2)^{2}+(6)^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}

calcoliamo adesso l’angolo compreso tra i due vettori:

\alpha = arccos \left(\frac{\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}\right) = arccos\left(\frac{-30}{5*2\sqrt{10}}\right)  = arccos\left(\frac{-3\sqrt{10}}{10}\right) \approx arccos(-0.95) \approx 162°

Esercizio 2

Calcolare il prodotto scalare di due vettori aventi moduli pari a 5 e 6 e l’angolo fra essi compreso è pari a 90°

Poiché i due vettori sono ortogonali tra di loro, il risultato è nullo

Esercizio 3

Si considerino due vettori aventi moduli pari a 4 e 15 e un angolo fra essi compreso di 60°. Calcolarne il prodotto scalare

Per risolvere l’esercizio applichiamo la  formula:

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = |u||v|cos\alpha = 4*15*cos60° = 4*15*\frac{1}{2} = 30
Prodotto scalare tra due vettori
Tag: