In questo appunto vediamo in cosa consiste l’operazione di prodotto di un vettore per uno scalare. Prima di procedere, ti consigliamo di approfondire la definizione di vettore e delle sue proprietà. In questo appunto vedremo:

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Prodotto di un vettore per uno scalare

Il prodotto di un vettore per uno scalare è un’operazione che ad un vettore e ad uno scalare associa un secondo vettore . Tale operazione è indicata con la notazione:

\overrightarrow{w} = \lambda \overrightarrow{v}

Il vettore risultante ha le seguenti caratteristiche:

  • stessa direzione del vettore di partenza
  • stesso verso del vettore di partenza se λ>0, verso opposto se λ<0
  • modulo dato dal prodotto del modulo del vettore di partenza per lo scalare λ:
|\overrightarrow{w}| = |\lambda||\overrightarrow{v}|

Poiché infatti il modulo di un vettore non può mai essere una quantità negativa, nella formula anche lo scalare è riportato all’interno di un modulo. Il modulo del vettore risultante di tale operazione è maggiore del modulo del vettore di partenza se:

|\lambda|>1

mentre è minore del modulo di partenza se:

|\lambda|<1

Ne consegue che l’elemento neutro di tale operazione è lo scalare 1 che lascia invariato il vettore di partenza:

1*\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}

Si noti infine che se il vettore di partenza ha componenti del tipo:

\overrightarrow{v}= v_{x}\overrightarrow{x}+v_{y}\overrightarrow{y} 

Allora il vettore risultante tale operazione avrà componenti date da:

\overrightarrow{w}= \lambda v_{x}\overrightarrow{x}+\lambda v_{y}\overrightarrow{y} 
Divisione per uno scalare

La divisione di un vettore per uno scalare può essere considerata un caso particolare del prodotto per uno scalare dove al vettore viene moltiplicata la quantità 1/λ. Affinche l’operazione sia determinate λ deve essere diverso da zero. Possiamo scrivere l’operazione nel seguente modo:

\overrightarrow{w} =  \frac{\overrightarrow{v}}{\lambda}

Il modulo del vettore risultante sarà dato da:

|\overrightarrow{w}| =  \frac{|\overrightarrow{v}|}{|\lambda|}
Proprietà del prodotto per uno scalare

L’operazione del prodotto di un vettore per uno scalare gode delle proprietà associativa, commutativa e distributiva rispetto alla somma. Dati due scalari λ e μ, dire che tale operazione gode della proprietà associativa significa che è valida la seguente uguaglianza:

\lambda(\mu \overrightarrow{v}) = (\lambda \mu\overrightarrow{v})

La proprietà commutativa è invece rappresentata dall’uguaglianza:

\lambda(\mu \overrightarrow{v}) =\mu(\lambda \overrightarrow{v})

Rispetto all’operazione di somma vettoriale, tale operazione gode della proprietà distributiva:

 

\lambda(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=\lambda\overrightarrow{u}+\lambda\overrightarrow{v}

Il prodotto per uno scalare, gode della proprietà distributiva anche rispetto alla somma degli scalari:

(\lambda+\eta)\overrightarrow{u} = \lambda\overrightarrow{u}+\eta\overrightarrow{u}
Esempio di esercizio

Esercizio 1

Sia dato un vettore u di modulo pari a 5 e lo si moltiplichi per lo scalare -3. Definire quali sono le caratteristiche del vettore risultante

Il vettore risultante avrà stessa direzione del vettore iniziale ma verso opposto in quanto la quantità scalare è negativa. Il modulo del vettore risultante è pari a:

|\overrightarrow{w}| = |\lambda| |\overrightarrow{u} | =3*5=15

Esercizio 2

Sia dato un vettore v di modulo pari a 4 e lo si divida per lo scalare -2. Quali sono le proprietà del vettore risultante?

Il vettore risultante avrà stessa direzione del vettore di partenza ma verso opposto. Il modulo sarà dato da:

|\overrightarrow{w}| =  \frac{|\overrightarrow{v}|}{|\lambda|} =\frac{4}{2} =2
Prodotto di un vettore per uno scalare