In questo appunto estendiamo quanto già visto al seguente link per la probabilità composta e condizionata al caso di variabili continue. Si considerino due eventi che indicheremo con X e Y. Se gli eventi sono caratterizzati da variabili continue, il loro manifestarsi è descritto da una distribuzione di densità di probabilità che in questo caso indicheremo con f(x) e f(y). I due eventi potrebbero essere descritti da una qualsiasi distribuzione di densità di probabilità. Ad esempio potrebbero avere entrambi un andamento normale. Oppure potrebbero essere distribuzione normale ed una uniforme in due intervalli di valori come nell’esempio:
Poiché nel caso continuo si lavora con la densità di probabilità, la probabilità che un evento di realizzi è l’integrale dell’area sottesa tra due valori a e b:
Un esempio concreto per capire l’applicazione della probabilità composta e condizionata al caso continuo potrebbe essere il seguente. Immaginiamo che X sia l’evento “incontrare una persona alta tra 1,80 e 1,85 cm” e Y sia “incontrare una persona che pesi tra i 90 e i 100kg”. Sia nel caso dell’altezza che nel caso del peso si ha a che fare con variabili continue e quindi descritte da una densità di probabilità. Ricordiamo che la densità di probabilità composta risponde in questo caso alla domanda: qual è la probabilità di incontrare una persona alta tra 1,80 e 1,85 cm e che pesi tra i 90 e i 100 kg? La probabilità condizionata risponde invece alla domanda: qual è la probabilità di aver incontrato una persona tra i 90 e i 100 kg sapendo che questa è alta tra 1,80 e 1,85 cm?
In questo appunto mostreremo quali relazioni consentono di rispondere a tali domande. In particolare vedremo:
- Funzione di densità di probabilità composta dei due eventi X e Y
- Densità di probabilità condizionata di X dopo che Y sia stato reso noto
Funzione di densità di probabilità composta dei due eventi X e Y
Abbiamo già visto al seguente link che la probabilità composta di due eventi A e B è la probabilità che i due eventi si verifichino contemporaneamente ed è indicata con:
quando i due eventi sono caratterizzati da risultati continui e quindi descritti da variabili casuali continue x e y, occorre riferirsi alla densità di probabilità composta indicata con f(x,y). Tale densità di probabilità congiunta è caratterizzata dalla seguenti proprietà:
La prima relazione ci dice che la distribuzione di densità di probabilità è sempre positiva. Non è mai possibile quindi che l’evento presenti in alcun punto dello spazio in cui la densità di probabilità è definita, una probabilità negativa. La seconda relazione ci dice che l’area totale (probabilità complessiva) della densità di probabilità composta è pari a 1. La terza e la quarta relazione identificano f(x) e f(y), ovvero le densità di probabilità dei singoli eventi, come distribuzioni di densità di probabilità marginali di f(x,y). La f(x,y) è una funzione definita in R2 con valori in R. Un esempio di densità di probabilità congiunta è la distribuzione gaussiana bivariata la cui funzione è:
In generale, se X e Y sono due funzioni indipendenti, la funzione di probabilità congiunta è data dal prodotto delle distribuzioni di probabilità marginali:
che null’altro è che la corrispondente versione continua della proprietà già vista per le variabili discrete:
Distribuzione di densità di probabilità condizionata
Abbiamo visto nel caso discreto che la probabilità congiunta che un evento A si verifichi dopo aver saputo che l’evento B si è manifestato è pari a:
Nel caso continuo questo si traduce in termini di densità di probabilità in:
Per cui, la densità di probabilità congiunta che si realizzi l’evento X dopo aver saputo essersi realizzato l’evento Y è data dal rapporto della densità di probabilità composta dei due eventi e la densità di probabilità marginale dell’evento Y. In termini d probabilità questo si traduce in:
questo risultato è però un risultato limite e non ha alcun valore puntuale. Ricordiamo infatti che quando si ha a che fare con densità di probabilità, la probabilità che si verifichi un determinato valore y1 è nulla:
Si ovvia a questo inconveniente ragionando su un intorno di y1:
allo stesso modo, per la probabilità congiunta chiedersi quale sia la probabilità che un evento X si verifichi tra i valori a e b una volta che l’evento si sia verificato all’esatto valore y non ha senso in quanto si sta cercando di condizionare l’evento Y ad un evento di probabilità nulla. Per cui si sostituisce la scrittura precedente con un limite:
ragionando quindi in un intorno di y1. Il valore atteso dell’evento X una volta conosciuto l’evento Y sarà dato da:
Esempi
Per alcuni esempi ti rimandiamo al seguente link. Si tratta di esempi matematici più che reali, in cui si mostrano le proprietà delle densità di probabilità composta e congiunta mostrate in questo appunto.
