Posizioni reciproche tra due circonferenze

In questo appunto vediamo le possibili posizioni reciproche tra due circonferenze, come riconoscerle e come calcolare eventuali punti di intersezione tra due circonferenze. I particolare vedremo:

• Possibili posizioni reciproche tra due circonferenze
• Come calcolare eventuali punti di intersezione tra due circonferenze
• Esempi di esercizi

Possibili posizioni reciproche tra due circonferenze

Vediamo adesso quali sono le possibili posizioni reciproche che possono assumere due circonferenze tra loro nel piano cartesiano. Assumiamo di avere dunque due circonferenze caratterizzare rispettivamente dai seguenti centri e raggi:

C(p,q); \,\,\,r \\\,\\ C'(p',q');\,r'

Per il seguito della trattazione, supponiamo che valga la relazione:

r \geq r'

Definiamo inoltre la distanza tra i due centri come.

d=\sqrt{\left(p-p'\right)^{2}+\left(q-q'\right)^{2}}

Adesso in base alla relazione che sussiste tra la distanza dei centri e i raggi possiamo definire le seguenti situazioni:

• Le due circonferenze non si intersecano tra loro in quanto esterne. Questa situazione accade quando la distanza tra i centri è maggiore della somma dei raggi: d>r+r’
• Quando la distanza è invece uguale alla somma dei raggi, le due circonferenze sono tangenti esternamente incontrandosi in un punto detto punto di tangenza. Deve dunque valere la relazione d=r+r’
• Se la distanza tra i centri è minore della differenza tra i raggi, allora le due circonferenze sono interne e non si intersecano tra loro. Deve dunque essere soddisfatta la relazione d<r-r’
• Quando la distanza tra i centri è uguale alla differenza tra i raggi, allora le due circonferenze sono tangenti internamente e si intersecano in un punto. Deve valere dunque la relazione d=r-r’
• Nel caso intermedio in cui la distanza è minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenza le due circonferenze sono secanti e si intersecano in due punti. Deve dunque essere soddisfatta la relazione r-r’ < d <r+r’
• Se d=0 e r>r’ le due circonferenze sono concentriche avendo i centri coincidenti.
• Nel caso particolare in cui d=0 e r=r’, le due circonferenze si dicono coincidenti

Vediamo nella figura sotto tutti i possibili casi sopra esposti:

Abbiamo dunque visto che calcolando la distanza tra i due centri e confrontandola con la somma o con la differenza tra i raggi è possibile capire in quale posizione reciprocano si trovano le due circonferenze.

Nel prossimo paragrafo vedremo come calcolare i punti di intersezione tra due circonferenze.

Come calcolare eventuali punti di intersezione tra due circonferenze

Spesso può essere necessario individuare i punti di intersezione, qualora esistenti, tra due circonferenze. Dalle posizioni reciproche viste nel paragrafo precedente possiamo ricavare la seguente casistica:

• Le circonferenze si intersecano in due punti. Allora queste sono dette secanti
• Un solo punto è condiviso tra le due circonferenze. Queste si dicono tangenti (tangenza interna o esterna)
• Le due circonferenze non si intersecano in alcun punto (circonferenze esterne, interne, concentriche)
• Esistono infiniti punti di intersezione. Allora le due circonferenze sono coincidenti

Ma come è possibile ricavare algebricamente i punti di intersezione tra due circonferenze? Partendo dalle equazioni delle due circonferenze è necessario costruire un sistema di equazioni, uno strumenti che impone, dunque, di calcolare le soluzioni che sono in comune alle due equazioni. Si tratta chiaramente della stessa metodologia che abbiamo visto per calcolare il punto di intersezione tra due rette, tra una retta ed una parabola e vale per il calcolo dei punti di intersezione tra due curve qualsiasi.

Immaginiamo dunque di avere due circonferenze rispettivamente di equazioni:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0 \\ \, \\x^{2}+y^{2}+a'x+b'y+c'=0

Costruiamo il corrispondente sistema di equazioni:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0 \\ \, \\x^{2}+y^{2}+a'x+b'y+c'=0\\ 

\end{matrix}\right.

Si tratta di un sistema di equazioni di secondo grado in x e in y. Se le equazioni delle circonferenze sono espresse in forma canonica come nel nostro caso, allora è possibile semplificare il sistema di equazioni sostituendo alla secondo equazione la differenza tra le due equazioni in modo da eliminare almeno in un caso i termini al quadrato in x e y.

Otteniamo dunque.

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\,\\ \, \\
(a-a')x+(b-b')y+(c-c')=0\\ 

\end{matrix}\right.

vedremo negli esercizi che mostreremo sotto che questa nuovo sistema di equazioni è più semplice da risolvere. Ricavando il valore della variabile x o y dalla seconda equazione e sostituendolo nella prima si otterrà un’equazione di secondo grado in x o in y. Ricaviamo la y alla seconda equazione:

y = \frac{a'-a}{b-b'}x +\frac{c'-c}{b-b'}

sostituendolo alla prima equazione otteniamo:

x^{2} + \left(\frac{a'-a}{b-b'}x +\frac{c'-c}{b-b'}\right)^{2} +ax+b\left(\frac{a'-a}{b-b'}x +\frac{c'-c}{b-b'}\right) +c =0

Risolvendola, avremo tre casi:

• Se il delta dell’equazione è positivo, allora avremo 2 soluzioni reali e distinte. Quindi due punti di intersezione
• Il delta può essere minore di zero. Allora non esistono soluzioni e le due circonferenze non si intersecano
• Si ricava un valore nullo del delta. Allora esistono 2 soluzioni reali e coincidenti. Le due circonferenze sono tangenti in un punto.

Soffermiamoci un attimo sulla seconda equazione ottenuta. Essa altro non è che l’equazione di una retta. Tale retta è detta asse radicale ed esiste per ogni coppia di circonferenze tranne nel caso di circonferenze concentriche. Esso è sempre perpendicolare alla retta che passa per i due centri.

Si noti dunque che l’asse radicale avrà, se esistono, gli stessi punti di intersezione delle due circonferenze. Nel caso di circonferenze tangenti, anche l’asse radicale sarà tangente alle due circonferenze nello stesso punto in cui le due circonferenze sono tangenti.

Esempi di esercizi

Vediamo adesso alcuni esempi di esercizi in cui si chiede di calcolare i punti di intersezione tra due circonferenze e di verificare la posizione tra le due circonferenze.

Esempio 1

Calcolare, se esistono i punti di intersezione tra le due circonferenze: x²+y²+2x+3y-3=0 e x²+y² -2x-4y-4=0

Costruiamo il sistema delle due equazioni:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+2x+3y-3=0\\ \,\\
x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0
\end{matrix}\right.

semplifichiamo il sistema calcolando l’asse radicale. Sottraiamo dunque la seconda equazione alla prima:

x^{2}+y^{2}+2x+3y-3=0\\\, - \,\\ 
x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\\\, = \,\\
4x+7y+1=0

sostituiamo la seconda equazione del sistema con l’equazione dell’asse radicale:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+2x+3y-3=0\\ \,\\
4x+7y+1=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\
\end{matrix}\right.

Ricaviamo il valore di y dall’equazione dell’asse radicale:

y= -\frac{4}{7}x-\frac{1}{7}

sostituiamo tale valore alla prima equazione del sistema:

x^{2}+y^{2}+2x+3y-3=0\\ \,\\
\Rightarrow \\ \,\\
x^{2}+\left( -\frac{4}{7}x-\frac{1}{7}\right)^{2}+2x+3\left( -\frac{4}{7}x-\frac{1}{7}\right)-3=0 \\ \,\\
\Rightarrow \\ \,\\
x^{2}+\frac{16}{49}x^{2}+\frac{1}{49}+\frac{8}{49}x+2x-\frac{12}{7}x-\frac{3}{7}-3=0 \\ \,\\

Eliminiamo le frazioni moltiplicando tutto per 49:

49x^{2}+16x^{2} +8x+98x-84x+1-21-147=0 \\\,\\65x^{2}+22x-167=0

Verifichiamo il segno del delta (in questo caso delta quarti) di questa equazione di secondo grado:

\frac{\Delta}{4} = \left(\frac{b}{2}\right)^{2}-ac = 11^{2}-65(-167) = 121+10855=10976

Il delta quarti è positivo. Esistono allora due soluzioni reali e distinte:

x_{1,2} = \frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a} = \frac{-11\pm\sqrt{10976}}{65} = \frac{-11\pm28\sqrt{14}}{65}

sfortunatamente 8471 non è semplificabile. Avremo dunque:

x_{1} = \frac{-11+28\sqrt{15}}{65} \\\,\\ x_{2}=\frac{-11-28\sqrt{14}}{65}

I corrispettivi valori delle ordinate si ottengono sostituendo tali valori all’equazione dell’asse radicale!

y_{1} = -\frac{4}{7}x_{1}-\frac{1}{7} = \frac{-109+112\sqrt{14}}{455} \\\,\\
y_{2} = -\frac{4}{7}x_{2}-\frac{1}{7} = \frac{-109-112\sqrt{14}}{455} \\\,\\

I due punti A(x1,y1) e B(x2,y2) sono i punti di intersezione delle due circonferenze:

A\left(\frac{-11+28\sqrt{15}}{65}; \frac{-109+112\sqrt{14}}{455}\right)\\\,\\ B\left(\frac{-11-28\sqrt{15}}{65}; \frac{-109-112\sqrt{14}}{455}\right)

Adesso sappiamo che le due circonferenze sono secanti in quanto si intersecano in due punti. Confermiamo quanto ottenuto confrontando la distanza tra i centri delle circonferenze con la somma e la differenza dei raggi.

Calcoliamo innanzitutto le coordinate dei centri:

x^{2}+y^{2}+2x+3y-3=0 \Rightarrow C\left(-\frac{a}{2};-\frac{b}{2}\right) \Rightarrow C\left(-1;-\frac{3}{2}\right)\\ \,\\
x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0 \Rightarrow C'\left(-\frac{a'}{2};-\frac{b'}{2}\right) \Rightarrow C'\left(1;2\right)

Calcoliamo adesso la distanza tra C e C’:

d = \sqrt{\left(1-(-1)\right)^{2}+\left(2-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)^{2}} =  \sqrt{\left(2\right)^{2}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{65}{4}}  \approx 4,03

Adesso calcoliamo i raggi delle due circonferenze:

x^{2}+y^{2}+2x+3y-3=0 \Rightarrow r= \frac{1}{2} \sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} \Rightarrow r= \frac{1}{2} \sqrt{2^{2}+3^{2}-4(-3)} =\frac{1}{2} \sqrt{4+9+12} = \frac{5}{2}   \\ \,\\
x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0 \Rightarrow r'= \frac{1}{2} \sqrt{a'^{2}+b'^{2}-4c'} \Rightarrow r= \frac{1}{2} \sqrt{(-2)^{2}+(-4)^{2}-4(-4)} =\frac{1}{2} \sqrt{4+16+16} = 3

la somma e la differenza dei raggi saranno date da:

r+r' = \frac{5}{2}+3 =5,5 \\\,\\ r'-r = 3- \frac{5}{2} = 0,5

poiché la distanza è circa 4 abbiamo verificato che essa è minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenze. Possiamo dunque concludere che le due circonferenze sono secanti!

Esempio 2

Calcolare se esistono, i punti di intersezione delle seguenti circonferenze x²+y²-4x+2y=0 e x²+y²-12x+6y=0

Costruiamo il sistema di equazione:

\left\{\begin{matrix}
  x^{2}+y^{2}-4x+2y=0\\ \,\\ 
 x^{2}+y^{2}-12x+6y=0
\end{matrix}\right.

semplifichiamo il sistema calcolando l’asse radicale:

  x^{2}+y^{2}-4x+2y=0\\ \,-  \,\\ 
 x^{2}+y^{2}-12x+6y=0 \\ \, =  \,\\  8x-4y=0

Il sistema di equazioni diventa:

\left\{\begin{matrix}
  x^{2}+y^{2}-4x+2y=0\\ \,\\ 
 8x-4y=0 \Rightarrow y=2x
\end{matrix}\right.

sostituiamo il valore di y all’equazione della prima circonferenza:

  x^{2}+(2x)^{2}-4x+2(2x)=0\\ \,\\  \Rightarrow \\\,\\ x^{2}+4x^{2}-4x+4x=0\\ \,\\  \Rightarrow \\\,\\ 5x^{2}=0 \\ \,\\  \Rightarrow \\\,\\ x^{2}=0

Otteniamo la più semplice equazione di secondo grado. Essa avrà delta nullo e dunque due soluzioni reali e coincidenti:

x_{1,2} = 0

ne risulta dunque che:

y_{1,2} = 2x_{1,2} = 0

Le due circonferenze sono tangenti tra loro. Ma in che posizione reciproca sono tra loro? Esse sono tangenti internamente o esternamente? Calcoliamoci i centri delle due circonferenze:

  x^{2}+y^{2}-4x+2y=0 \Rightarrow C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right) \Rightarrow  C\left(2,-1\right)\\ \, 
 x^{2}+y^{2}-12x+6y=0 \Rightarrow C'\left(-\frac{a'}{2},-\frac{b'}{2}\right) \Rightarrow  C\left(6,-3\right)

La distanza tra i due centri è data da:

d = \sqrt{\left(2-6\right)^{2}+\left(-1-\left(-3\right)\right)^{2}} =  \sqrt{16+4} = 2\sqrt{5}

Calcoliamo adesso i raggi delle due circonferenze:

r = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \frac{1}{2}\sqrt{16+4} = \sqrt{5} \\ \, \\ r' = \frac{1}{2}\sqrt{144+36} = 3\sqrt{5}

confrontiamo la distanza con la somma e la differenza tra i raggi (ricorda di sottrarre sempre il più piccolo a più grande:

r+r' = 4\sqrt{5} \\\,\\ r'-r = 2\sqrt{4}

la distanza è dunque uguale alla differenza tra i raggi. Le due circonferenze sono tangenti internamente!

Esempio 3

Verificare la posizione reciproca delle seguenti circonferenze: x²+y²-3x+3y-1=0 e x²+y²-3x+3y-4=0

Costruiamo il sistema di equazioni

\left\{\begin{matrix}
  x^{2}+y^{2}-3x+3y-1=0\\\,\\
 x^{2}+y^{2}-3x+3y-4=0
\end{matrix}\right.

sempplifichiamo il sistema calcolando l’equazione dell’asse radicale:

  x^{2}+y^{2}-3x+3y-1=0\\\, -
\,\\ x^{2}+y^{2}-3x+3y-4=0 \\\, =
\,\\ 3=0

si ottiene una non identità. Non esiste l’equazione dell’asse radicale. Questo accade nell’unico caso in cui le circonferenze sono concentriche! Come ulteriore prova, guardare i coefficienti a e b delle due equazioni:

a=a'=-3 \\\,\\b=b'=3

Essi sono identici, per cui i due centri hanno le stesse coordinate e sono coincidenti.