Posizioni reciproche di una retta e di una circonferenza

Vediamo in questo appunto quali sono le possibili posizioni reciproche di una retta e di una circonferenza e come riconoscerle algebricamente. In generale vedremo:

• Possibili posizioni reciproche di una retta e di una circonferenza
• Impostazione algebrica
• Esempi

Possibili posizioni reciproche di una retta e di una circonferenza

Esistono te possibili posizioni reciproche di una retta e di una circonferenza. Esse sono tali da definire la retta:

• secante: se le due curve si intersecano in due punti
• tangente: se le due curve hanno un unico punto in comune
• esterna: se le due curve non hanno alcun punto in comune

ma cosa vogliono significare graficamente queste definizioni? Lo vediamo nell’immagine sotto:

Impostazione algebrica per definire la posizione reciproca di una retta e di una circonferenza

Adesso vediamo come algebricamente è possibile definire in quali posizione reciproca sono le due curve. Come già fatto per la parabola, occorre verificare quanti punti di intersezione ci sono tra le due curve mettendo a sistema le loro equazioni. In generale dunque occorre risolvere un sistema di equazioni del tipo:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0\\ 
\\ 
y=mx+q\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right.

Dove la rpima equazione rappresenta la generica equazione di una circonferenza, mentre la seconda è la generica equazione di una retta. adesso andando a sostituire il valore di y (si potrebbe fare anche con x) della seconda equazione sulla prima abbiamo:

x^{2}+m^{2}x^{2}+2mqx+ax+mbx+c+q^{2}+bq=0 \\ \,\,\\ \Rightarrow \,\\\,\\ (1+m^{2})x^{2} + (2mq+mb+a)x + c+q^{2}+bq=0

si ottiene dunque un’equazione di secondo grado detta equazione risolvente del sistema. Consideriamo adesso il Delta di questa equazione. Si possono verificare tre casi:

• Il sistema non ammette soluzioni in quanto il Δ è minore di zero . Possiamo dunque concludere che la retta è esterna
• Esistono due soluzioni reali e coincidenti. Questo accade quando il Δ dell’equazione è pari a zero . In questo caso la retta è tangente
• Il sistema ammette due soluzioni reali e distinte in quanto il Δ è maggiore di zero . Abbiamo a che fare con una retta secante la circonferenza

In caso di retta secante, ricordati che per conoscere le coordinate dei punti di intersezione, occorrerà calcolare le soluzioni dell’equazione risolvente. Questa operazione fornirà il valore delle ascisse. Per conoscere il valore delle ordinate occorrerà sostituire il valore delle ascisse ottenuto alla x dell’equazione della retta. Non utilizzare l’equazione della circonferenza per quest’ultimo passaggio! Infatti l’equazione della circonferenza restituisce per ciascuna ascissa ben due ordinate e solo una di esse sarà quella in comune con la retta e non sarà possibile riconoscere quale.

Geometricamente è possibile capire la posizione di una retta rispetto alla circonferenza confrontando la dimensione del raggio della circonferenza con la distanza del centro di questa dalla retta data. Si noti infatti che:

• Quando la retta è esterna, la distanza del centro da essa è maggiore del raggio
• In caso di retta tangente, distanza e raggio sono uguali (la retta tangente è sempre perpendicolare al raggio)
• Se la retta è secante, allora la distanza di questa dal centro è minore del raggio!

Vediamo nel prossimo paragrafo alcuni esempi di esercizi in cui è chiesto di determinare le posizioni reciproche di una retta e di una circonferenza

Esempi

Esempio 1

Determinare la posizione della retta y=2x+3 rispetto alla circonferenza x²+y²-2x+3y-3=0

Risolviamo l’esercizio impostando il sistema di equazioni:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0\\ 
\\ 
y=mx+q\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}-2x+3y-3=0\\ 
\\ 
y=2x+3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right.

Adesso sostituiamo il valore della variabile y della seconda equazione nella prima:

x^{2} + (2x+3)^{2}-2x+3(2x+3)-3=0 \\\, \Rightarrow \,\\  x^{2} + 4x^{2}+12x+9-2x+6x+9-3=0 \\\, \Rightarrow \,\\ 5x^{2}+16x+15=0

Abbiamo dunque l’equazione di secondo grado risolvente il sistema. Adesso calcoliamo il suo delta:

\Delta = b^{2}-4ac = 16^{2}-4(5)(15) = 256-300= -44

Abbiamo ottenuto un valore per il delta negativo (-44). Possiamo dunque concludere che la retta non interseca la parabola in alcun punto e che dunque questa è esterna.

Esempio 2

Determinare la posizione della retta y=2x+1 rispetto alla circonferenza di equazione x²+y²+12x-3y+7=0

Risolviamo l’esercizio mettendo a sistema le due equazioni:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0\\ 
\\ 
y=mx+q\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+12x-3y+7=0\\ 
\\ 
y=2x+1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right.

Sostituiamo il valore della variabile y della seconda equazione nella prima:

x^{2}+(2x+1)^{2}+12x-3(2x+1)+7=0 \\\,\Rightarrow \,\\ x^{2}+4x^{2}+4x+1+12x-6x-3+7=0 \\\,\Rightarrow \,\\ 5x^{2}+10x +5 = 0 \\\,\Rightarrow \,\\  x^{2}+2x+1 =0 \\\,\Rightarrow \,\\ (x+1)^{2}=0

Abbiamo ottenuto il quadrato di un binomio. Ricordiamo che in questo caso non serve calcolare il delta, esso sarà certamente uguale a zero. Esistono dunque due soluzioni reali e coincidenti dell’equazione risolvente:

x_{1} = x_{2} =-1

La retta dunque sarà tangente alla circonferenza in un punto di ascissa -1. Sostituiamo questo valore all’equazione della retta per conoscere l’ordinata del punto:

y=2x+1 \\\,\Rightarrow \,\\ y=2(-1)+1 \\\,\Rightarrow \,\\  y=-2+1 \\\,\Rightarrow \,\\  y=-1

dunque il punto A(-1,-1) è il punto di tangenza della retta alla circonferenza.

Esempio 3

Determinare la posizione della retta y=2x-3 rispetto alla circonferenza di equazione x²+y²-6x-4y+3=0

Risolviamo l’esercizio costruendo il sistema di equazioni:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0\\ 
\\ 
y=mx+q\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}-6x-4y+3=0\\ 
\\ 
y=2x-3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right.

Determiniamo l’equazione risolvente:

x^{2}+y^{2}-6x-4y+3=0 \\\, \Rightarrow \,\\ x^{2}+(2x-3)^{2}-6x-4(2x-3)+3=0 \\\, \Rightarrow \,\\ x^{2}+4x^{2}-12x+9-6x-8x+12+3=0 \\\, \Rightarrow \,\\ 5x^{2}-26x+24=0

Calcoliamo adesso il delta ridotto di questa equazione di secondo grado (anche detto delta quarti):

\frac{\Delta}{4} = \left(\frac{b}{2}\right)^{2} -ac  = 13^{2}-5*24 = 169 - 120=49

Otteniamo dunque un valore positivo. L’equazione ha due soluzioni reali e distinte, e la retta è secante.

Calcoliamo adesso le soluzioni dell’equazione:

x_{1,2} = \frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a} = \frac{13\pm\sqrt{49}}{5} = \frac{13\pm7}{5}

Avremo dunque le seguenti soluzioni:

x_{1} = \frac{6}{5} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{2} =4

Calcoliamo le rispettive ordinate, sostituendo questi valori all’equazione della retta:

y_{1} = 2x_{1}-3 = 2\left(\frac{6}{5} \right) -3  = \frac{12-15}{5} = -\frac{3}{5}  \\ \, \\ y_{2} = 2x_{2}-3 = 8-3 = 5

I punti saranno dunque:

A\left( \frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right) \\ \, \\ B\left( 4,5\right)