Posizioni di un punto rispetto a una circonferenza

Vediamo in questo appunto le possibili posizioni di un punto rispetto a una circonferenza e alcuni esempi. Dunque vedremo:

• Possibili posizioni di un punto rispetto ad una circonferenza
• Esempi

Possibili posizioni di un punto rispetto ad una circonferenza

Un generico punto del piano cartesiano rispetto a una circonferenza può essere:

• appartenente alla circonferenza
• interno alla circonferenza
• esterno alla circonferenza

queste tre condizioni possono essere rappresentate dalla figura.

Nella figura sopra riportata, in celeste è possibile individuare i punti appartenenti alla circonferenza. Essi non sono altro che tutti i punti del piano cartesiano le cui coordinate soddisfano l’equazione della circonferenza:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0

In giallo è rappresentato invece l’insieme dei punti del piano cartesiano che sono interni alla circonferenza. Essi sono tali che le loro coordinate soddisfano la relazione:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c < 0 

I punti rappresentati in grigio sono invece i punti esterni alla circonferenza. Essi sono tali che le loro coordinate devono soddisfare la relazione:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c >0

Dato dunque un generico punto P, è possibile dunque verificare la sua posizione rispetto a una circonferenza andando a sostituire le sue coordinate al polinomio che rappresenta il primo membro dell’equazione di una circonferenza. Se il numero che si ottiene è minore di zero, allora il punto è interno alla circonferenza. In caso in cui si ottenga un valore maggiore di zero allora il punto è esterno alla circonferenza. Se si esegue questa operazione direttamente all’interno dell’equazione è assolutamente fondamentale non operare mai un cambio di segno!

Esempi

Esempio 1

Individuare la posizione del punto P(1,2 ) rispetto alla circonferenza x²+y²-4y=0

Sostituiamo le coordinate del punto al polinomio riportato a primo membro:

x^{2} + y^{2} -4y  \\\,\Rightarrow\\ (1)^{2}+(2)^{2}-4(2) \\\,\Rightarrow\\ 1+4-8 \\\,\Rightarrow\\-3

poiché -3 è minore di 0 il punto è interno alla circonferenza.

Esempio 2

Individuare la posizione del punto P(0,3 ) rispetto alla circonferenza x²+y²-3x+3y-1=0

Sostituiamo le coordinate del punto al polinomio del primo membro dell’equazione:

x^{2} + y^{2}-3x+3y-1 \\\,\Rightarrow \\ 0^{2} + 3^{2} -3(0) +3(3) -1 \\\,\Rightarrow \\9+9-1 \\\,\Rightarrow \\ 17

Abbiamo ottenuto un numero maggiore di zero. Dunque il punto è esterno alla circonferenza

Esempio 3

Definire la posizione del punto P(2,2) rispetto alla circonferenza x²+y²-2x-2y=0

Sostituiamo le coordinate del punto al polinomio a primo membro dell’equazione:

x^{2} + y^{2}-2x-2y \\\,\Rightarrow\\ 2^{2}+ 2^{2}-2(2)-2(2) \\\,\Rightarrow\\ 4+4-4-4 \\\,\Rightarrow\\ 0

poiché la sostituzione ha dato 0, possiamo concludere che il punto appartiene alla circonferenza.