In questo appunto vediamo quali sono le possibili posizioni di una retta rispetto ad un’iperbole e come determinarle. Per poter comprendere completamente il contenuto di questo appunto è necessario conoscere i concetti di equazione di una retta, l’equazione di un’iperbole e di sistema di equazioni. In questo appunto vedremo in particolare:
- quali sono le possibili posizioni che una retta può assumere rispetto ad un’iperbole
- come determinare la posizione di una retta rispetto ad un’iperbole
- esempi di esercizi
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Quali sono le possibili posizioni che una retta può assumere rispetto ad un’iperbole
Data una retta ed un’iperbole in un piano cartesiano possiamo avere tre possibili modo con cui la retta si relazione all’iperbole. La retta può essere infatti:
- Esterna: questo è il caso in cui la retta non incontra mai l’iperbole. In altre parole, non ci sono punti in comune tra la retta e l’iperbole
- Tangente: questo è il caso in cui la retta incontra l’iperbole in un solo punto
- Secante: questo è il caso in cui la retta incontra l’iperbole in due punti. Si noti che ci sono due possibilità. La retta può infatti o intersecare ciascun ramo dell’iperbole in un suo punto, oppure può intersecare un solo ramo dell’iperbole in due suoi punti
Vediamo graficamente questi tre casi:
La retta secante nell’esempio mostrato interseca l’iperbole in un punto di entrambi i rami. Avremmo potuto disegnare una retta secante uno solo dei due rami.
Si noti, infine, che gli asintoti di un’iperbole sono delle rette esterne all’iperbole in quanto non hanno alcun punto in comune con l’iperbole stessa. L’iperbole tende agli asintoti senza mai toccarli!
Come determinare la posizione di una retta rispetto ad un’iperbole
Vediamo adesso come determinare la posizione di una retta rispetto ad un’iperbole. Il metodo con il quale ottenere questa informazione è assolutamente identico a quello già mostrato per le altre coniche (si veda ad esempio il caso di retta e parabola, o retta ed ellisse). Tale metodo consiste nei seguenti passaggi:
- Una volta note l’equazione della retta e l’equazione dell’iperbole, occorre costruire un sistema con le due equazioni dell’iperbole e della rette:
\left\{\begin{matrix}
y=mx+q \\\,\\
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right.
- Risolvere il sistema di equazioni utilizzando il metodo di sostituzione. Questo consiste nel sostituire il valore della y della prima equazione nella seconda:
\left\{\begin{matrix}
y=mx+q \\\,\\
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{(mx+q)^{2}}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right.
la seconda equazione diventa un’equazione di secondo grado in x. Questa è l’equazione risolvente del nostro sistema di equazioni. Risolvendo questa equazione di secondo grado, potremmo avere 3 casi:
- l’equazione non ha soluzioni per via del fatto che il Δ<0. Non vi sono dunque punti in comune tra la retta e l’iperbole e la retta si dice esterna all’iperbole
- Esistono due soluzioni reali e coincidenti dell’equazione. Questo accade quando il Δ=0 e la retta è tangente all’iperbole. Esiste dunque un solo punto in comune tra retta ed iperbole
- Esistono due soluzioni reali e distinti dell’equazione. Questo accade quando il Δ>0 e la retta è secante l’iperbole. Esistono dunque due punti in comune tra retta ed iperbole
Nel prossimo paragrafo vedremo alcuni esempi di esercizi che chiariranno meglio queste tre situazioni.
Esempi di esercizi
Esercizio 1
Verificare la posizione della retta y=3x+2 rispetto alla seguente iperbole:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1
Utilizziamo i tre passaggi mostrati nel paragrafo precedente per determinare la posizione della retta rispetto all’iperbole. Innanzitutto creiamo il sistema a due equazioni:
\left\{\begin{matrix}
y=3x+2 \\\,\\
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1
\end{matrix}\right.
sostituiamo adesso il valore della y della prima equazione nella seconda:
\left\{\begin{matrix}
y=3x+2 \\\,\\
\frac{x^{2}}{4}-\frac{(3x+2)^{2}}{8}=1
\end{matrix}\right.
Adesso, la seconda equazione del sistema è l’equazione risolvente. Sviluppiamola:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{(3x+2)^{2}}{8}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\frac{x^{2}}{4}-\frac{9x^{2}+4+12x}{8}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 2x^{2}-9x^{2}-4-12x=8 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ -7x^{2}-12x-12 =0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 7x^{2}+12x+12 =0
calcoliamo adesso il delta quarti dell’equazione:
\frac{\Delta}{4}= \left(\frac{b}{2}\right)^{2}-ac = 6^{2}-7*12=36-84=-48
poiché il delta è negativo la retta e l’iperbole non hanno alcun punto in comune! Possiamo concludere che la retta è esterna all’iperbole
Esercizio 2
Date le equazioni della seguente retta e della seguente iperbole:
y=\frac{4\sqrt{3}}{3}x-\frac{4\sqrt{3}}{3} \\\,\\ \,\\\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1
determinare la posizione della retta rispetto all’iperbole
Anche questa volta eseguiamo i passi mostrati nel paragrafo precedente. Quindi, come primo passaggio, costruiamo il sistema:
\left\{\begin{matrix}
y=\frac{4\sqrt{3}}{3}x-\frac{4\sqrt{3}}{3} \\\,\\
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right.
eseguiamo la sostituzione della variabile y della prima equazione nella seconda:
\left\{\begin{matrix}
y=\frac{4\sqrt{3}}{3}x-\frac{4\sqrt{3}}{3} \,\,\,\,\,\,\,\,\, \\\,\\
\frac{x^{2}}{4}-\frac{(\frac{4\sqrt{3}}{3}x-\frac{4\sqrt{3}}{3} )^{2}}{16}=1
\end{matrix}\right.
la seconda equazione del nostro sistema è adesso un’equazione di secondo grado in x ed è l’equazione risolvente del sistema. Risolviamola:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{(\frac{4\sqrt{3}}{3}x-\frac{4\sqrt{3}}{3} )^{2}}{16}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 4x^{2}-\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}x-\frac{4\sqrt{3}}{3} \right)^{2}=16 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 4x^{2}-\frac{16}{3}x^{2}-\frac{16}{3}+\frac{32}{3}x=16\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 12x^{2}-16x^{2}-16+32x=48
riorganizziamo:
-4x^{2}+32x-64=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x^{2}-8x+16=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ (x-4)^{2}=0
la nostra equazione di secondo grado si è ridotta al quadrato di un binomio. Ricordiamo che questo accade quando il delta dell’equazione è nullo e l’equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti! Allora siamo nel caso in cui la retta è tangente all’iperbole e quindi la incontra in un solo punto. Calcoliamo adesso le coordinate di tale punto partendo dalla sua ascissa:
(x-4)^{2}=0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, x_{1}=x_{2}=4
per conoscere il valore dell’ordinata basta sostituire l’ascissa nell’equazione o della retta o dell’iperbole in quanto il punto appartiene ad entrambe. Scegliamo l’equazione della retta essendo questa in primo grado:
y=\frac{4\sqrt{3}}{3}x-\frac{4\sqrt{3}}{3} \,\,\,\ \Rightarrow \,\,\,y=\frac{4\sqrt{3}}{3}*4-\frac{4\sqrt{3}}{3} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ y= \frac{16\sqrt{3}}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ y= \frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}
dunque il punto P:
P(4; 4\sqrt{3})
è il punto di tangenza della retta all’iperbole
Esercizio 3
Verificare la posizione della retta y= 4x-1 con l’iperbole:
-\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1
Anche in questo caso occorre seguire gli stessi passaggi visti per gli altri due esercizi. Si noti che l’iperbole ha i due fuochi allineati verticalmente. Mettiamo a sistema le due equazioni:
\left\{\begin{matrix}
y=4x-1 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \\\,\\
-\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1
\end{matrix}\right.
sostituiamo il valore della y della prima equazione nella seconda:
\left\{\begin{matrix}
y=4x-1 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \\\,\\
-\frac{x^{2}}{9}+\frac{(4x-1)^{2}}{25}=1
\end{matrix}\right.
La seconda equazione è adesso l’equazione risolvente del sistema. Risolviamola:
-\frac{x^{2}}{9}+\frac{(4x-1)^{2}}{25}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ -\frac{x^{2}}{9}+\frac{16x^{2}+1-8x}{25}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ -25x^{2}+144x^{2}+9-72x=225\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 119x^{2}-72x-216=0
Calcoliamo il delta quarti:
\frac{\Delta}{4}= \left(\frac{b}{2}\right)^{2}-ac =36^{2}-119*(-216)=1296+25704=27000
Il delta quarti è positivo. Per cui esisteranno due soluzioni reali e distinte. Calcoliamole:
x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a} = \frac{36\pm\sqrt{27000}}{119} =\frac{36\pm30\sqrt{30}}{119} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x_{1}=\frac{36+30\sqrt{30}}{119} \\\,\\ x_{2}=\frac{36-30\sqrt{30}}{119}
sostituiamo il valore delle due x all’equazioni delle rette per calcolare i valori delle ordinate:
y_{1} = 4x_{1}-1=4 \frac{36+30\sqrt{30}}{119} -1 = \frac{144+120\sqrt{30}}{119}-1 =\frac{144+120\sqrt{30}-119}{119} =\frac{25+120\sqrt{30}}{119} \\\,\\ y_{2} = 4x_{2}-1=4 \frac{36-30\sqrt{30}}{119} -1 = \frac{144-120\sqrt{30}}{119}-1 =\frac{144-120\sqrt{30}-119}{119} =\frac{25-120\sqrt{30}}{119}
dunque i due punti:
A\left( \frac{36+30\sqrt{30}}{119} ; \frac{25+120\sqrt{30}}{119}\right) \\\,\\ B\left(\frac{36-30\sqrt{30}}{119} ; \frac{25-120\sqrt{30}}{119}
\right)
sono i punti con cui la retta interseca l’iperbole
