Posizione di una retta rispetto ad una parabola

In questo appunto vediamo quali possibili posizioni può assumere una retta rispetto a una parabola e le condizioni algebriche associate. In particolare vedremo:

• Posizione di una retta rispetto ad una parabola
• Condizioni algebriche per le posizioni di una retta rispetto ad una parabola
• Esempi

Posizione di una retta rispetto ad una parabola

Una retta ed una parabola all’interno di un piano cartesiano possono posizionarsi tra di loro in 3 modi:

• La retta può essere esterna alla parabola se non interseca la parabola in alcun punto
• Se la retta interseca la parabola in uno o due punti, allora questa è detta secante della parabola. Una retta può essere secante in un solo punto rispetto alla parabola solo se essa è parallela all’asse di simmetria della parabola. Tutte le infinite rette parallele all’asse di simmetria, con asse di simmetria compreso, sono anche rette secanti della parabola in un punto di essa
• La retta può anche avere un punto in comune con la parabola senza intersecarla. In questo caso essa è detta retta tangente alla parabola

Vediamo nella seguente immagine i casi appena elencati

Vediamo adesso nel prossimo paragrafo in che modo algebricamente è possibile riconoscere i casi sopra esposti.

Condizioni algebriche per le posizioni di una retta rispetto ad una parabola

Per poter identificare la posizione di una retta rispetto ad una parabola l’operazione algebrica richiesta è la risoluzione del sistema con le equazioni della retta e della parabola. Risolvere tale sistema significa individuare delle coppie di coordinate cartesiane, e quindi dei punti, che soddisfano sia l’equazione della retta che l’equazione della parabola. In parole spicciole, significa trovare i punti in comune alla retta e alla parabola. La risoluzione del sistema può condurre a tre risultati diversi:

• Il sistema ha due soluzioni reali e distinte. Allora la retta è secante rispetto alla parabola e la interseca in due punti del piano cartesiano
• Le soluzioni sono due e reali e coincidenti. In questo caso abbiamo a che fare con una retta tangente alla parabola.
• Il sistema non ha soluzioni reali. In questo caso la retta sarà esterna alla parabola.
• Nel caso in cui abbiamo a che fare con una retta parallela all’asse di simmetria e quindi con una retta secante in un solo punto, il sistema mostrerà un’unica soluzione. Vedremo nel seguito che algebricamente si tratta di un caso diverso dai tre precedenti.

Vediamo adesso in che modo otteniamo tali 3 casi andando a risolvere un generico sistema. Consideriamo le generiche equazioni esplicite di una qualsiasi retta e di una parabola con asse di simmetria verticale e poniamo le due equazioni a sistema:

sostituiamo all’equazione della parabola la y con il valore dell’equazione della retta:

si ottiene dunque un’equazione di secondo grado. Proviamo a risolverla applicando la sua formula caratteristica. Utilizzeremo per quest’ultima una notazione leggermente diversa da quella solita, per non indurre il lettore in confusione nella risoluzione:

dove, dall’equazione ottenuta ricaviamo:

a’=a

b’= b-m

c’ = c-q

otteniamo dunque:

Adesso indichiamo l’argomento della radice con la lettera greca delta. Per non confonderla con il delta utilizzato per le coordinate del fuoco e del vertice e quindi caratteristico della parabola, utilizziamo una notazione diversa:

Adesso, quest’ultimo valore può assumere:

• > 0 e allora il sistema di equazioni ammette due soluzioni reali e distinte. Allora la retta è secante alla parabola e la interseca nei due punti individuati.
• < 0 e allora il sistema non ammette soluzioni. La retta è esterna alla parabola
• = 0 e allora il sistema ammette due soluzioni reali e coincidenti. La retta è tangente alla parabola in suo punto.

Il sistema generico appena mostrato non contempla il caso di una retta parallela all’asse di simmetria della parabola. In questo caso il sistema sarebbe del tipo:

La prima equazione ci fornisce subito il valore dell’ascissa del punto di intersezione della retta con la parabola. Sostituendo il valore di x all’equazione della parabola otteniamo il valore dell’ordinata:

Allora il generico punto P(k, ak²+bk+c) è l’unico punto di intersezione della retta con la parabola. In altre parole,la retta è secante rispetto alla parabola in un solo punto.

Le condizioni algebriche descritte in questo paragrafo sono ripetibili anche nel caso di una parabola con asse di simmetria orizzontale.

Esempi

Vediamo di seguito alcuni esempi di esercizi.

Esempio 1

Calcolare i punti di intersezione della retta y=3x+1 con la parabola y=3x²+2x+1

Calcoliamo i punti di intersezione mettendo a sistema le due equazioni ed applichiamo il metodo di sostituzione:

Organizziamo tutti i termini dell’equazione al primo membro e semplifichiamo di conseguenza ottenendo:

Potremmo calcolare le soluzioni dell’equazione utilizzando la formula consueta con il delta oppure potremmo raccogliere la x ottenendo:

Abbiamo al primo membro due fattori il cui prodotto è zero. Questo accade se uno dei due fattori è pari a zero. Per cui le due soluzioni dell’equazione sono x=0 e x=1/3.

Andiamo a sostituire il valore x=0 all’equazione della retta e otterremo y=1. Facciamo la stessa cosa con il valore x=1/3 ed otteniamo y=2. Ne consegue che i due punti A(0, 1) e B(1/3, 2) sono i due punti di intersezione della retta con la parabola. Ne consegue che la retta è una secante.

Per il puro gusto del confronto, verifichiamo cosa avremmo ottenuto risolvendo l’equazione con il metodo classico. Riprendiamo l’equazione:

abbiamo a=3, b=-1 e c=0. Applichiamo la formula:

Innanzitutto notiamo che il delta è positivo a conferma che la retta effettivamente è una secante. La formula conferma dunque le due soluzioni mostrate precedentemente.

Esempio 2

Definire la posizione della retta y=2x+1 con la parabola y=x_² + x +12

Risolviamo il sistema composto dalle due equazioni ed applichiamo il metodo di sostituzione:

Riorganizziamo l’equazione al primo membro:

e calcoliamo il delta:

siamo quindi nella condizione in cui il delta è negativo. La retta è dunque esterna alla parabola.

Esempio 3

Calcolare l’intersezione della retta y=2 con la parabola di equazione x=3y²-4y+1

Siamo quindi nella condizione di una parabola con asse parallelo all’asse delle x e di una retta parallela all’asse della parabola. Ne consegue che la posizione della retta rispetto alla parabola è di essere secante in un punto di essa. Mettiamo a sistema le due equazioni ed applichiamo il metodo di sostituzione:

Il punto A(5,2) è quindi il punto di intersezione della retta con la parabola.

Esempio 4

Calcolare, qualora esistenti, i punti di intersezione della retta y=-x-1 con la parabola y=-3x² +5x-4

Mettiamo a sistema le due equazioni ed applichiamo il metodo di sostituzione:

calcoliamo i punti di intersezione:

quindi abbiamo il caso di due soluzioni reali e coincidenti (x₁=x₂ = 1) a causa di un valore di delta uguale a zero. La retta è dunque tangente alla parabola. Il punto di tangenza si ottiene sostituendo il valore della x all’equazione della retta (y=-1-1=-2). Il punto di tangenza è dunque A(1,-2).