Posizione di una retta rispetto a un’ellisse

Vediamo in questo breve appunto quali sono e come individuare le posizioni di una retta rispetto a un’ellisse. In particolare avrai l’opportunità di assimilare quali sono le tre possibili posizioni di una retta rispetto a un’ellisse e le condizioni algebriche di ciascuna. Termineremo l’appunto con una serie di esempi di esercizi. Dunque l’appunto è così strutturato:

• Possibili posizioni di una retta rispetto a un’ellisse
• Condizioni algebriche delle posizioni di una retta rispetto a un’ellisse
• Passaggi per risolvere gli esercizi
• Esempi di esercizi

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Possibili posizioni di una retta rispetto a un’ellisse

Vediamo in questo paragrafo quali sono le possibili posizioni di una retta rispetto a un’ellisse nel piano cartesiano. Come già visto per alcune delle coniche (vedi retta-parabola e retta-circonferenza), la retta può assumere tre possibili posizioni rispetto ad un’ellisse:

• Secante: se attraversa l’ellisse intersecandola in due punti
• Tangente: se incontra l’ellisse in un solo punto
• Esterna: se la retta non incontra l’ellisse

rappresentiamo questi possibili casi nella figura sottostante:

La retta colorata in verde è esterna all’ellisse ed in quanto tale non incontra mai l’ellisse. Le rette colorate in rosso ed in blu incontrano invece l’ellisse rispettivamente in due ed un punto. Nel primo caso parliamo di retta secante mentre nel secondo caso di retta tangente.

Nel prossimo paragrafo vediamo in che modo, data l’equazione di una retta e di un’ellisse determinare la posizione della prima rispetto all’ultima.

Condizioni algebriche delle posizioni di una retta rispetto a un’ellisse

Supponiamo di avere una retta e una ellisse aventi rispettivamente equazioni:

y=mx+q \\\,\\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

come faccio a determinare la posizione della retta rispetto all’ellisse? Partiamo da una semplice considerazione. Quando rappresentiamo graficamente una generica curva in un piano cartesiano, stiamo contemporaneamente rappresentando tutte le soluzione dell’equazione di quella curva. Dunque, quando disegniamo una retta nel piano, rappresentiamo tutti i punti le cui coordinate sono soluzione dell’equazione della retta.

Chiarito questo concetto possiamo affermare che due curve si intersecano in uno o più punti se e solo se le coordinate di tale/i punti sono soluzioni per entrambe le equazioni. Algebricamente il mezzo che ci consente di determinare se ci sono soluzioni in comune a uno o più equazioni è il sistema di equazioni.

Ne consegue che, per determinare la posizione di una retta rispetto ad un’ellisse, occorre risolvere un sistema a due equazioni: l’equazione della retta e dell’ellisse chiaramente. Vediamo l’esempio generico:

\left\{\begin{matrix}
 y=mx+q\\ \, \\
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
\end{matrix}\right.

adesso possiamo avere tre possibili casi:

• il sistema non ha soluzioni, ovvero non esistono soluzioni in comune alle due equazioni. Ergo, la retta è esterna all’ellisse
• Esiste due soluzioni reali e coincidenti. Ciò accade quando la retta è tangente all’ellisse
• Esistono due soluzioni reali e distinte. Questo è il caso di una retta secante l’ellisse.

proviamo a risolvere il sistema sostituendo il valore della variabile y della prima equazione nella seconda. Otteniamo:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{(mx+q)^{2}}{b^{2}}=1

che è l’equazione risolvente del sistema. Si tratta di un’equazione di secondo grado in x. Il valore del delta di tale equazione è anch’esso legato ai tre possibili scenari:

• Se il delta è positivo abbiamo 2 soluzioni reali e distinte. La retta è secante l’ellisse
• Quando il delta è negativo non abbiamo soluzioni reali. La retta è esterna all’ellisse
• Nel caso in cui il delta è nullo, allora la retta è tangente all’ellisse

Passaggi per risolvere gli esercizi

Considerando quanto finora detto per poter definire la posizione di una retta rispetto a un’ellisse occorre:

1. Mettere a sistema le due equazioni della retta e dell’ellisse
2. Ricavare l’equazione risolvente di secondo grado del sistema
3. Individuare il valore del delta per determinare la posizione
4. Determinare le soluzioni dell’equazione risolvente per determinare le una delle coordinate dei punti di intersezione (normalmente le ascisse)
5. Sostituire le soluzioni ottenuto dell’equazione risolvente nell’equazione della retta (preferita all’ellisse per semplicità di calcoli) per ottenere il completo set di coordinate dei punti di intersezione

Vedremo adesso nel prossimo paragrafo alcuni esempi di esercizi in cui è richiesto di verificare la posizione di una retta rispetto ad un’ellisse o di determinare le coordinate dei punti di intersezione.

Esempi di esercizi

Esempio 1

Determinare la posizione della retta y=2x +1 rispetto all’ellisse di equazione:

\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1

Come primo passaggio mettiamo a sistema le due equazioni:

\left\{\begin{matrix}
 y=2x+1\\ \, \\
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1
\end{matrix}\right.

Successivamente sostituiamo il valore della y della prima equazione nella seconda, per ricavare l’equazione risolvente il sistema:

\frac{x^{2}}{16}+\frac{(2x+1)^{2}}{9}=1

Esplicitiamo il quadrato del binomio e calcoliamo il minimo comune multiplo:

\frac{9x^{2}+64x^{2}+64x+16}{144}=1 

moltiplichiamo entrambi i membri per 144 e portiamo tutto a primo membro:

73x^{2}+64x+16-144=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ 73x^{2}+64x-128=0 

L’esercizio ci chiede di definire la posizione della retta, per cui calcoliamo il delta dell’equazione. Poiché il termine in x è pari, useremo il delta quarti:

\frac{\Delta}{4} = \left(\frac{b}{2}\right)^{2}-ac = 32^{2}+73*128 =10368 

poiché il delta quarti è positivo, allora esistono due soluzioni reali e distinte. La retta è secante l’ellisse. Per calcolare le coordinate dei punti di intersezione, risolviamo l’equazione di secondo grado:

x_{1,2} = \frac{-\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}= \frac{-32\pm \sqrt{10368}}{73} = \frac{-32\pm 72\sqrt{2}}{73}

dunque le soluzioni sono:

x_{1} = \frac{-32+ 72\sqrt{2}}{73} \\\,\\ x_{2} = \frac{-32- 72\sqrt{2}}{73} \\\,\\ 

Questi due valori rappresentano le ascisse dei punti di intersezione. Sostituendole all’equazione della retta y=2x+1:

y_{1} = 2x_{1}+1 = 2\frac{-32+ 72\sqrt{2}}{73}  +1 =  \frac{-64+ 144\sqrt{2}+73}{73}  = \frac{9+ 144\sqrt{2}}{73} \\\,\\ y_{2} = 2x_{2}+1 = 2\frac{-32- 72\sqrt{2}}{73}  +1 =  \frac{-64- 144\sqrt{2}+73}{73}  = \frac{9- 144\sqrt{2}}{73} 

dunque i due punti di intersezione risultano essere:

A\left(\frac{-32+ 72\sqrt{2}}{73}; \frac{9+ 144\sqrt{2}}{73}\right) \\\,\\ B\left(\frac{-32- 72\sqrt{2}}{73}; \frac{9- 144\sqrt{2}}{73}\right)

rappresentiamo il tutto graficamente:

Esempio 2

Verificare la posizione della retta y= 1/2x+9 rispetto all’ellisse di equazione:

\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{4}=1

Mettiamo le due equazioni a sistema:

\left\{\begin{matrix}
 y=\frac{1}{2}x+9\\ \, \\
\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{4}=1
\end{matrix}\right.

sostituiamo il valore della y della prima equazione nella seconda:

\frac{x^{2}}{64}+\frac{\left(\frac{1}{2}x+9\right)^{2}}{4}=1

svolgiamo i calcoli:

\frac{x^{2}+16\left(\frac{1}{4}x^{2}+9x+81\right)}{64}=1 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\\frac{x^{2}+4x^{2}+144x+1296-64}{64}=0\\\,\\\Rightarrow \\\,\\\frac{5x^{2}+144x+1232}{64}=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\5x^{2}+144x+1232=0

calcoliamo il delta quarti:

\frac{\Delta}{4} = \left(\frac{b}{2}\right)^{2}-ac = 72^{2}-5*1232 =-976

Il delta quarti è negativo. Dunque possiamo concludere che la retta è esterna all’ellisse! Prova a rappresentare la situazione graficamente