Posizione di un punto rispetto ad un’ellisse

Vediamo in questo appunto quali posizioni può avere nel piano cartesiano un punto rispetto ad un’ellisse e come determinare tale posizione algebricamente. In particolare vedremo:

• Posizioni di un punto rispetto ad un’ellisse
• Condizioni algebriche
• Esempi di esercizi

Posizioni di un punto rispetto ad un’ellisse

Consideriamo un generico punto P del piano cartesiano avente coordinate x_P y_P e consideriamo la generica equazione dell’ellisse in forma canonica:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

Il punto P può avere tre possibili posizioni rispetto all’ellisse:

• Appartenere all’ellisse.
• Essere interno all’ellisse
• Essere esterno all’ellisse

Vediamo in figura i tre casi:

Descriviamo quanto riportato nella figura sopra:

• L’area in rosso è interna all’ellisse. Tutti punti che appartengono a questa area sono definiti interni all’ellisse. Un esempio è il punto P₃
• L’area in giallo è invece esterna all’ellisse. Tutti i punti che le appartengono, come il punto P₂, sono definiti esterni all’ellisse
• Tutti i punti che non appartengono all’area rossa e gialla, sono appartenenti all’ellisse. Un esempio è il punto P₁ che è posizionato proprio sull’ellisse

vediamo nel prossimo paragrafo quali sono le condizioni algebriche che consentono di determinare in quale posizione sia un generico punto rispetto all’ellisse.

Condizioni algebriche

La domanda alla quale vuole rispondere questo paragrafo è: se ho le coordinate di un punto del piano e l’equazione di un’ellisse, come faccio a determinare la posizione del punto rispetto all’ellisse?

La risposta è molto semplice ed è di tipo algebrico:

• Un punto P appartiene all’ellisse se e solo se le sue coordinate sono soluzioni dell’equazione dell’ellisse:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

• I punti interni dunque, avranno delle coordinate che non soddisferanno l’equazione dell’ellisse. In alternativa però possiamo dire che le loro coordinate soddisferanno la disequazione:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}<1

• Ne consegue che le coordinate dei punti esterni saranno tali da soddisfare la disequazione:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}>1

Adesso come si fa operativamente a verificare a quali dei tre casi un punto appartiene? Allora, dato un punto P di coordinata x_P, y_P, occorre sostituire il valore delle coordinate alle variabili x e y dell’equazione dell’ellisse. A seguito di questa operazione, che deve essere eseguita senza mai cambiare il segno dei due membri si possono ottenere 3 risultati:

1. Identità: il primo membro è uguale al secondo. Possiamo dunque affermare che il punto P appartiene all’ellisse perché ne soddisfa l’equazione
2. Il primo membro è più grande del secondo. Se l’operazione è stata seguita senza mai operare un cambio di segno dei due membri, allora possiamo affermare che il punto è esterno all’ellisse
3. Il primo membro è più piccolo del secondo. Se l’operazione è stata seguita senza mai operare un cambio di segno dei due membri, allora possiamo affermare che il punto è interno all’ellisse

Vediamo nel prossimo paragrafo alcuni esempi di esercizi.

Esempi di esercizi

Esercizio 1

Determinare la posizione del punto A(1,1) rispetto all’ellisse di equazione:

\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1

Eseguiamo la sostituzione delle variabili x e y dell’equazione dell’ellisse con coordinate del punto A:

\frac{x_{A}^{2}}{9}+\frac{y_{A}^{2}}{16}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{1^{2}}{9}+\frac{1^{2}}{16}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{1}{9}+\frac{1}{16}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ {\color{red} \frac{25}{144}=1}

L’identità non è soddisfatta. Poiché il primo membro è minore del secondo membro, possiamo affermare dunque che il punto A è interno all’ellisse

Esercizio 2

Determinare la posizione del punto B(9/5, 4) rispetto all’ellisse di equazione:

 \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1

Sostituiamo le coordinate del punto B alle variabili dell’equazione:

 \frac{x_{B}^{2}}{9}+\frac{y_{B}^{2}}{25}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\  \frac{\frac{9}{5}^{2}}{9}+\frac{4^{2}}{25}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{\frac{81}{25}}{9}+\frac{16}{25}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{81}{25*9}+\frac{16}{25}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{81+144}{225}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ {\color{green} \frac{225}{225}=1}

l’identità è verificata. Possiamo concludere che il punto B appartiene all’ellisse

Esercizio 3

Determinare la posizione del punto C(4,-8) rispetto all’ellisse di equazione:

\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{4}=1

Eseguiamo la solita sostituzione:

\frac{x_{C}^{2}}{49}+\frac{y_{C}^{2}}{4}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\  \frac{4^{2}}{49}+\frac{(-8)^{2}}{4}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\  \frac{16}{49}+\frac{64}{4}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\  {\color{red}\frac{16}{49}+16=1}

Poiché il primo termine è maggiore del secondo (a 16 occorre ancora sommare un’altra piccola quantità positiva), possiamo affermare che il punto C è esterno all’ellisse.