In questo appunto definiamo il periodo i funzioni goniometriche elementari e mostriamo alcune regole con le quali calcolare il periodo nel caso di operazioni tra funzioni. Per comprendere a pieno il contenuto di questo appunto è consigliabile conoscere le funzioni goniometriche seno e coseno, tangente e cotangente, secante e cosecante. In questo appunto vedremo:

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Definizione di periodo di una funzione

Una funzione si dice periodica se questa ha la caratteristica di ripetere i suoi valori ad intervalli regolari lungo tutto il suo dominio. Sarà dunque possibile definire un numero reale positivo T per cui si verifica l’uguaglianza:

f(x) = f(x+T)

affinché tale numero possa essere identificato come il periodo della funzione, non deve esistere un numero più piccolo di esso che verifica comunque l’uguaglianza. Infatti, definito il periodo T, qualsiasi multiplo di T soddisfa l’uguaglianza:

f(x) =f(x+kT)

dove k è un qualsiasi numero intero naturale positivo. Cerchiamo di rappresentare graficamente il concetto di funzione periodica e di periodo con un esempio concreto di funzione:

funzione periodica

questa funzione, detta a dente di sega, è un esempio di funzione periodica. Lo intuiamo sicuramente graficamente, visto che il grafico della funzione si ripete costantemente di periodo T=5. Si noti che la ripetizione avviene ogni 10, ma 10 non può essere considerato il periodo della funzione, ma è di fatto un multiplo del periodo della funzione (2T).

Periodo di funzioni goniometriche elementari

Tra le funzioni periodiche più note ci sono le funzioni goniometriche elementari. La loro periodicità è legata al fatto che nell’intervallo di un angolo giro, da 0 a 2π, tali funzioni assumono tutti i loro possibili valori. Tali valori si ripetono nel secondo giro e di conseguenza anche nel terzo giro. Si potrebbe dunque essere portati a pensare che per tutte le funzioni goniometriche il periodo possa essere 2π ma in realtà non è così. Vediamo di seguito caso per caso

Funzioni seno e coseno

Le funzioni seno e coseno hanno un periodo pari a 2π. Ciò significa che:

sin (x) = sin (x+2\pi) \\\,\\cos (x) = cos (x+2\pi)

verifichiamo questo comportamento algebricamente e poi graficamente. Algebricamente ci chiediamo quale sia il valore del periodo T per il quale:

sin (x) = sin (x+T)

utilizziamo quindi la formula di addizione della funzione seno:

sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)

per esprimere il termine al secondo memebro:

sin(x) = sin(x) cos(T)+cos(x)sin(T)

affinché l’equazione sia soddisfatta occorre necessariamente che:

sin(T)=0 \,\,\,\, \wedge\,\,\,\, cos(T)=1

ma l’unico angolo per il quale il seno è nullo ed il coseno è pari a 1 è 2π! Dunque:

T=2\pi+2k\pi

ma poiché il periodo di una funzione è il più piccolo numero reale positivo di T, allora dobbiamo assumere T=2π

Allo stesso modo è possibile dimostrare il periodo del coseno:

cos(x)= cos(x+T) \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ cos(x) = cos(x) cos(T)-sin(x)sin(T) 

l’uguaglianza richiede:

cos(T)=1 \,\,\,\, \wedge\,\,\,\, sin(T)=0

ed ancora una volta:

T=2\pi+2k\pi

ma poiché il periodo di una funzione è il più piccolo numero reale positivo di T, allora dobbiamo assumere T=2π. Vediamo adesso il comportamento di queste due funzioni dal punto di vista grafico:

Periodo di funzioni goniometriche: seno e coseno

dal grafico si evince come la distanza tra due creste o tra due valli per entrambe le funzioni è sempre pari a 2π.

Funzioni tangente e cotangente

Il periodo delle funzioni tangente e cotangente è invece pari a π. Ricordando infatti la circonferenza goniometrica è facile dimostrare graficamente che la tangente di un angolo al primo quadrante è uguale alla tangente di quell’angolo+180° che si troverà al terzo quadrante. Stessa cosa per la cotangente. Algebricamente si può esprimere il periodo mediante le relazioni:

tg(x) = tg (x+\pi) \\\,\\ cotg(x) =cotg(x+\pi)

anche in questo caso possiamo utilizzare le formule di addizione per dimostrare il periodo delle funzioni:

tg(x) = tg(x+T) \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ tg (x)=\frac{tg(x)+tg(T)}{1-tg(x)tG(T)}

affinché l’uguaglianza sia realizzata è necessario porre:

tg(T)=0 \\\,\\\Rightarrow\\\,\\ T = \pi+k\pi

ma poiché il periodo di una funzione è il più piccolo numero reale positivo di T, allora dobbiamo assumere T=π. Per quanto riguarda la funzione cotangente, possiamo affermare che il periodo della funzione sarà il medesimo di quello della tangente essendo una funzione l’inversa dell’altra. La verifica mediante le formule di addizione richiede di conoscere il conetto di limite e di infinito. In questo caso abbiamo infatti:

cotg(x) = cotg(x+T) \\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ cotg(x) = \frac{cotg(x)cotg(T)-1}{cotg(x)+cotg(T)}
 
 

dalla formula si evince che non esiste alcun valore di T che consente di dimostrare tale uguaglianza. Possiamo però dire che il secondo membro tende al primo solo quando il valore della cotg assume valori che tendono a +infinito. Se ricordiamo il dominio ed il codominio della funzione cotangente, questo accade solo quando T tende a π da sinistra:

\lim_{T\rightarrow \pi^{-}}\frac{cotg(x)cotg(T)-1}{cotg(x)+cotg(T)} \approx \frac{cotg(x)cotg(T)}{cotg(T)} \approx cotg(x)

Dunque il periodo rimane ancora π!

Verifichiamo graficamente l’andamento di queste due funzioni:

Periodo di funzioni goniometriche: tangente e cotangente
Secante e cosecante

La funzione secante e la funzione cosecante sono per definizione le funzioni inverse di coseno e seno. In quanto tali, esse hanno lo stesso periodo delle funzioni seno e coseno. Per cui T=2π. Tralasciamo la dimostrazione algebrica che sarebbe molto simile a quella vista per le funzioni seno e coseno. Vediamolo graficamente:

Periodo di funzioni goniometriche: secante e cosecante
Regole per determinare il periodo di funzioni goniometriche elementari

Fino ad ora abbiamo visto i periodi delle funzioni goniometriche elementari, ovvero di funzioni goniometriche che presentano come argomento la generica variabile x. Può però accadere che l’argomento della funzione goniometrica non sia x ma una generica funzione di x. Ad esempio ci chiediamo quale sia il periodo di:

cos(2x)

proviamo a calcolare tale periodo attraverso la definizione:

cos(2x) = cos[2(x+T)] \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ cos(2x) = cos(2x+2T)

sostituiamo adesso s=2x

cos(s)=cos(s+2T)

sappiamo che nel caso del coseno di s il periodo è pari a 2π. Dunque possiamo sostituire:

2T=2\pi \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ T=\pi

dunque il periodo della funzione cos(2x) è pari a π! Ma esistono delle regole generali per questo tipo di funzioni composte? La risposta è si e la vediamo nel seguito:

Funzioni seno, coseno, secante e cosecante

Indicando con f una qualsiasi di queste funzioni elementari abbiamo le seguenti regole generali:

f(ax+b) \,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, T= \frac{2\pi}{|a|} \,\,\,con \,\,\, a\neq0 \\\,\\\\\,\\ |f(x)| \,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, T= \pi \\\,\\\\\,\\ f(x)^{2n}  \Rightarrow\,\,\,\,\, T= \pi \\\,\\\\\,\\ f(x)^{2n+1}  \Rightarrow\,\,\,\,\, T= 2\pi \\\,\\\\\,\\f(x)^{\frac{1}{n}}  \Rightarrow\,\,\,\,\, T= 2\pi \\\,\\\\\,\\

si noti che le regole sopra valgono solo per le funzioni elementari! Questo vuol dire che il periodo della funzione elementare:

|cosx|

è pari a π come per la regola sopra riportata, mentre il periodo della funzione composta:

|cos3x|

è pari a π/6, mentre il periodo della funzione composta:

|cos3x+3|

è pari a π/3! Attenzione a non fare confusione!

Funzioni tangente e cotangente

Indicando con f una qualsiasi di queste funzioni elementari abbiamo le seguenti regole generali:

f(ax+b) \,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, T= \frac{\pi}{|a|} \,\,\,con \,\,\, a\neq0 \\\,\\\\\,\\ |f(x)| \,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, T= \pi \\\,\\\\\,\\ f(x)^{2n}  \Rightarrow\,\,\,\,\, T= \pi \\\,\\\\\,\\ f(x)^{2n+1}  \Rightarrow\,\,\,\,\, T= \pi \\\,\\\\\,\\f(x)^{\frac{1}{n}}  \Rightarrow\,\,\,\,\, T= \pi \\\,\\\\\,\\
Operazioni di somma, prodotto e divisione tra funzioni periodiche

In questo paragrafo ci chiediamo se le operazione di somma, prodotto e divisione tra funzioni periodiche restituiscono ancora una funzione periodica. La risposta è non sempre. Siano date due funzioni periodiche f1 e f2 di periodo rispettivamente T1 e T2. E siano date le seguenti funzioni:

f_{3}=f_{1}+f_{2}\\\,\\ f_{4}= f_{1}f_{2}\\\,\\ f_{5}= \frac{f_{1}}{f_{2}}

le funzioni f3, f4 ed f5 risultano essere funzioni periodiche se e solo se:

\frac{T_{1}}{T_{2}}=k\,\, \epsilon \,\, Q 

dunque il rapporto tra le funzioni originali deve essere un numero razionale. Il periodo delle funzioni f3, f4 ed f5 sarà dunque:

k \neq 1 \Rightarrow T_{3},T_{4},T_{5} =mcm(T_{1},T_{2}) \\\,\\ k=1 \Rightarrow T_{1}=T_{2}=T \Rightarrow T_{3} \leq T;\,T_{4}\leq T;\,T_{5}\leq T

Nel caso in cui k=1, non esiste una regola generale per determinare il periodo della funzione. Sappiamo solo che esso non potrà essere maggiore di T. Infine, se il rapporto tra i due periodi delle funzioni di partenza è un numero non razionale, allora le funzioni risultanti non saranno periodiche.

Periodo di funzioni goniometriche