In questo appunto vediamo in cosa consiste l’ortocentro di un triangolo e le sue proprietà. Per comprendere a pieno i contenuti di questo appunto consigliamo di avere familiarità con i concetti di triangolo, altezza di un triangolo e classificazione degli angoli. In particolare in questo appunto vedremo:
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Definizione di ortocentro di un triangolo
L’ortocentro di un triangolo è il punto di incontro delle altezze o dei loro prolungamenti di un triangolo.
Questa definizione ci fornisce due importanti concetti. Il primo è che è l’ortocentro è legato al concetto di altezza di un triangolo. Sappiamo che per ciascun triangolo è possibile definire 3 altezze. Ogni altezza è il segmento che congiunge un vertice al lato opposto o alla sua proiezione.
Il secondo importantissimo concetto è che le tre altezze o i loro prolungamenti di un triangolo si incontrano in uno stesso punto e tale punto è detto ortocentro. Vediamo di seguito un esempio:
In figura sono state disegnate le tre altezze del triangolo ABC:
- AH è l’altezza relativa al lato BC del triangolo
- BI è l’altezza relativa al lato AC del triangolo
- CL è altezza relativa al lato AB
esse, come previsto, si incontrano tutte e tre nello stesso punto O. Nel prossimo paragrafo vediamo quali sono le principali proprietà dell’ortocentro:
Proprietà dell’ortocentro
La posizione dell’ortocentro dipende dal tipo di triangolo. Per capire questo concetto vediamo la seguente figura:
il primo triangolo rappresentato è un triangolo acutangolo, ovvero un triangolo avente tutti gli angoli interni acuti (angoli minori di 90° sessagesimali). In questo caso si osserva che la posizione dell’ortocentro è interna al triangolo. Il secondo triangolo è un triangolo ottusangolo. Qui l’ortocentro è esterno al triangolo. Il terzo triangolo è invece un triangolo rettangolo. In questo caso il vertice su cui giace l’angolo retto coincide con la base delle altezze relative ai due cateti e di conseguenza coincide con l’ortocentro del triangolo.
Dunque ricapitolando possiamo ricavare la seguente regola generale:
- Se l’ortocentro è interno, allora il triangolo è acutangolo
- Quando l’ortocentro è esterno, allora il triangolo è ottusangolo
- Se l’ortocentro coincide con un vertice del triangolo, allora tale triangolo sarà un triangolo rettangolo
Si noti inoltre che:
- Non esiste un triangolo nel quale l’ortocentro sia posizionato su uno dei lati senza coincidere con un vertice
Altra proprietà dell’ortocentro è che:
- in un triangolo isoscele, l’ortocentro coincide con il baricentro e l’incentro del triangolo.
Dimostrazione
Dimostriamo adesso che le altezze di un triangolo si incontrano in un punto in comune. Consideriamo un generico triangolo ABC:
tracciamo su ciascun vertice la retta parallela al lato opposto. Le tre rette si incontrano a due a due un punto costituendo un nuovo triangolo che indicheremo con le lettere A’B’C’:
si noti che il quadrilatero ABCB’ è un parallelogramma ed in quanto tale i lati BC e AB’ sono congruenti tra loro. Allo stesso modo il quadrilatero AC’BC è anch’esso un parallelogramma. In quanto tale anche i lati BC e AC’ sono congruenti. Ne consegue dunque che AB’ è congruente ad AC’ e di conseguenza A è il punto medio di B’C’. Si può eseguire la medesima dimostrazione per gli altri due vertici. Ne risulterà che:
B è il punto medio di A’C’ e C è il punto medio di A’B’. Adesso tracciamo da A l’altezza al lato BC:
Si noti adesso che poiché la retta passante per AH è perpendicolare a BC, essa sarà anche perpendicolare a B’C’. Essendo essa anche passante per il punto medio di B’C’, allora la retta passante per AH è anche mediana del lato B’C’.
Se estendiamo il ragionamento anche ai vertici B e C otteniamo le mediane di A’C’ e di A’B’. Dunque abbiamo le tre mediane del triangolo A’B’C’. Ma sappiamo che le tre mediane di un triangolo si incontrano in un punto detto circocentro:
Ma le tre mediane di A’B’C’ sono le altezze di ABC. Dunque, dimostrare che le 3 mediane di A’B’C’ si incontrano in un punto, significa dimostrare che le tre altezze di ABC si incontrano in un punto
