In questo appunto descriviamo il moto parabolico dal punto di vista cinematico enunciandone la legge oraria e le formule. Per comprendere a pieno il contenuto di questo appunto è necessario avere familiarità con i concetti di grandezze vettoriali, accelerazione, moto rettilineo uniforme e moto uniformemente accelerato (e di caduta libera). Nel proseguo vedremo:

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Definizione di moto parabolico o moto del proiettile

Per moto parabolico o moto del proiettile si intende il moto di un corpo che sottoposto ad accelerazione di gravità si muove in due dimensioni a causa di una velocità orizzontale iniziale non nulla. Parliamo di moto parabolico in quanto la traiettoria del corpo oggetto si questo moto è una parabola. Parliamo di moto del proiettile in quanto un proiettile sparato è soggetto a questo tipo di moto. Il moto parabolico è infatti alla base della balistica.

La definizione data sopra è piuttosto chiara da un punto di vista formale ma può essere di difficile comprensione. Immaginiamo di voler sparare un colpo di cannone. Per poter centrare un determinato obiettivo è fondamentale non solo mirare nella direzione dell’obiettivo ma anche di scegliere l’inclinazione giusta alla quale posizionare il cannone. Come mai questo accade? Il motivo risiede nel fatto che la palla è soggetta contemporaneamente a due moti:

  • Moto uniformemente accelerato (caduta libera) in direzione verticale al suolo. Questo accade in quanto la palla è soggetta ad accelerazione di gravità e la sua velocità varia di 9,81 m/s2
  • Moto rettilineo uniforme nella direzione parallela al suolo

Graficamente abbiamo:

moto parabolico o del proiettile

dove in figura sono rappresentati diversi casi di moto parabolico. Vedremo nel prossimo paragrafo in cosa si differiscono le traiettorie riportate in figura.

Scomposizione del moto parabolico

Come detto nel paragrafo precedente, il moto parabolico può essere scomposto in un moto orizzontale rettilineo uniforme ed un moto verticale uniformemente accelerato. Per ciascuno dei due moti possiamo definire una legge oraria.

Sia vx la velocità del corpo lungo l’asse delle y e vy la velocità del corpo lungo l’asse delle y, e sia g l’accelerazione di gravità, i due moti sono descritti dalle leggi orarie (evitiamo per semplicità la notazione vettoriale:

x(t) = x_{0} +v_{x}t \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ \\\,\\ y(t) =y_{0}+v_{y}t-\frac{1}{2}gt^{2}

Si noti come l’equazione della coordinata y rispetto al tempo t sia una parabola. Non si confonda però tale parabola con quella della traiettoria! La posizione vettoriale r ad un generico istante t è data dalla somma vettoriale del vettore x(t) e dal vettore y(t) riferiti rispetto ai versori i e j:

\overrightarrow{r}(t)  = x(t)\overrightarrow{i}+y(t)\overrightarrow{j}

Allo stesso modo il vettore velocità è dato da:

\overrightarrow{v(t)}  = v_{x}(t)\overrightarrow{i}+v_{y}(t)\overrightarrow{j}

da cui in modulo ricaviamo:

|\overrightarrow{v}(t)| =\sqrt{v_{x}^{2}(t)+v_{y}^{2}(t)}

Si noti dunque che la velocità varia nel tempo a causa dell’effetto dell’accelerazione di gravità:

in particolare accade che:

  • la componente orizzontale della velocità che abbiamo indicato con v(x) è sempre costante in quanto non esiste alcuna componente dell’accelerazione in quella direzione
  • La componente verticale della velocità che abbiamo indicato con v(y) varia nel tempo a causa dell’accelerazione di gravità. Essa ha un’iniziale valore positivo (il verso positivo è considerato per convenzione verso l’alto), si annulla quando il corpo raggiunge l’altezza massima e diventa negativa in discesa

In particolare possiamo anche scrivere le seguenti relazioni per le componenti della velocità:

v_{x} = |v| cos\alpha \\\,\\ v_{y} = |v|sin \alpha

dove alfa è l’angolo compreso tra il vettore v e la sua componente vx.

E’ molto importante tenere conto della combinazione dei due moti ma non è necessario combinarli in un’unica legge oraria per poter ottenere tutte le informazioni principali necessarie a descrivere in modo esaustivo questo moto: gittata, altezza massima raggiunta e tempo di volo. Vediamo nel prossimo paragrafo come ricavare tali informazioni.

Altezza massima raggiunta, tempo di volo, gittata e gittata massima a parità di velocità

Altezza massima

Il calcolo dell’altezza massima può essere eseguito considerando solo la componente verticale del moto. Il corpo infatti, parte con una velocità iniziale positiva verticale v0y ed è rallentato dall’accelerazione di gravità. L’altezza massima è l’altezza alla quale la velocità verticale è pari a 0. Dal moto uniformemente accelerato sappiamo che la velocità varia nel tempo secondo la relazione:

 

v_{y}(t) = v_{0y} -gt

ma all’altezza massima vy (t) = 0. Sostituendo questo valore alla precedente formula, possiamo calcolare l’istante t in cui il corpo raggiunge la sua altezza massima:

0 = v_{0y}-gt \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ t_{ymax}= \frac{v_{0y}}{g}

memorizziamo per un secondo questo dato. Il moto uniformemente accelerato nel caso di caduta libera di un corpo ci dice che l’altezza varia secondo la relazione:

y(t) = y_{0}+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^{2}

per semplicità poniamo come altezza iniziale y0 il suolo, per cui y0 =0. Otteniamo:

y(t) = v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^{2}

sostituendo a tale relazione il tempo ottenuto nel precedente passaggio, otteniamo l’altezza massima raggiunta dal corpo:

y(t) = v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\y_{max} = v_{0y} \frac{v_{0y}}{g}-\frac{1}{2}g\left( \frac{v_{0y}}{g}\right)^{2} = \frac{v_{0y}^{2}}{2g}

Tempo di volo

Per tempo di volo si intende il tempo che il corpo impiega lontano dal suolo. Esso inizia quando parte il moto e termina nell’istante in cui il corpo torna al suolo. Anche in questo caso è possibile eseguire il calcolo considerando ancora una volta solo la componente verticale di caduta libera. Ponendo infatti y(t)=0 abbiamo:

y(t) = v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 0 =v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^{2}\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ t_{volo}=\frac{2v_{0y}}{g} \,\,\,\,\,\,\ con\,\,\,\, t\neq 0

Una padronanza molto forte del concetto di caduta libera del corpo ci avrebbe indotto a recuperare questo dato per via logica. Il corpo, se parte dal suolo, e termina al suolo, impiega come tempo di volo il doppio del tempo che impiega per raggiungere la sua altezza massima!

Gittata

Per gittata intendiamo lo spazio orizzontale che il corpo percorre quando è sospeso in aria. Essa si ottiene facilmente sostituendo il tempo di volo nella legge oraria del moto rettilineo uniforme:

x(t) =x_{0}+v_{0x}t_{volo} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x_{gittata} =x_{0}+\frac{2v_{0x}v_{0y}}{g} 

ponendo per semplicità x0 = 0:

x_{gittata} =\frac{2v_{0x}v_{0y}}{g} 

ma v0x e v0y sono componente del vettore v:

x_{gittata} =\frac{2|v|^{2}cos\alpha \,sin\alpha}{g} 

dunque la gittata dipende dall’angolo iniziale che il vettore v forma con l’asse delle x.

Gittata massima

Ci chiediamo a questo punto quale sia l’angolo per il quale si ottiene la gittata massima a parità di modulo di velocità v. Essa si ottiene calcolando il valore di alfa per il quale:

x_{gittata} =\frac{2|v|^{2}cos\alpha \,sin\alpha}{g} 

raggiunge il suo valore massimo. Dalle formule di duplicazione sappiamo che:

sin(2\alpha) =2sin\alpha cos\alpha

ma quando il seno di un angolo assume il suo valore massimo? Ciò accade quando l’angolo è pari a 90°. Dunque abbiamo che la gittata massima l’abbiamo quando:

2\alpha = 90° \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \alpha = 45°

dunque quando il cannone è posizionato a 45°, la palla di cannone percorre la sua gittata massima. Essa sarà pari a :

x_{gittata} =\frac{2|v|^{2}cos\alpha \,sin\alpha}{g}  \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\x_{gittatamax} =\frac{2|v|^{2}cos45° \,sin45°}{g} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\x_{gittatamax} =\frac{2|v|^{2}}{g} \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{|v^{2}|}{g}

 

Moto Parabolico in cinematica