In questo breve appunto vediamo come viene espressa la misura dell’ampiezza degli angoli in radianti e da dove deriva questo metodo di misura. In particolare vedremo:

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Cosa si intende per ampiezza di un angolo

In geometria l’angolo è un elemento con una sua ben precisa definizione. Consideriamo due semirette in un piano avente il punto di origine in comune, la parte di piano compresa tra le due semirette è definita angolo. In realtà quando due semirette si incontrano, queste dividono sempre il piano in due parti, per cui è sempre possibile definire due angoli:

 

definizione angolo

misurare l’angolo dunque significherebbe misurare una porzione di piano non delimitata. Poiché un piano è steso all’infinito, allora anche ciascun angolo sarà esteso all’infinito e di conseguenza la sua area sarà sempre infinita. La definizione certo non ci aiuta a discriminare un angolo da un altro. Se ci concentriamo infatti sulla figura sopra, possiamo notare come le due semirette definiscano due angoli e come questi siano profondamente diversi. E’ vero che entrambi si estendono all’infinito, ma uno lo fa più lentamente di un altro. Data l’impossibilità di definire un angolo mediante la sua area, l’escamotage è stato di eseguire la misura dell’ampiezza dell’angolo che esprime la posizione relativa di una semiretta rispetto all’altra:

definizione ampiezza di un angolo

Dunque quando parliamo di misura di un angolo, parliamo in realtà della misura della sua ampiezza

Introduzione del metodo di misura in radianti

Il più noto metodo di misura dell’ampiezza di un angolo è il metodo sessagesimale, in cui la sua unità di misura è la 360sima parte dell’angolo giro. A questo segue il metodo di misura in radianti. Ma cosa significa esprimere l’ampiezza di un angolo in radianti?

Consideriamo una generica circonferenza avente centro nel punto O e raggio r e su di essa costruiamo due angoli al centro che indicheremo con α1 e α2:

Angolo in radianti

a tali due angoli corrispondono due archi che abbiamo indicato con l1 ed l2. Dalla figura si può notare che all’aumentare dell’ampiezza dell’angolo aumenta la lunghezza dell’arco ad esso associato. Infatti possiamo dire che poiché α1 < α2 allora l1 < l2. In qualche modo allora l’ampiezza dell’angolo può essere associata a quella dell’arco corrispondente, ma quest’ultimo dipende dal raggio della circonferenza. Cosa significa ciò? Significa che se abbiamo due circonferenze con raggi diverse, ad uno stesso angolo corrispondono due archi di lunghezza diversa. L’espressione dell’ampiezza dell’angolo in radianti supera la dipendenza del raggio esprimendo l’angolo nel seguente modo:

\alpha_{rad} = \frac{l}{r}

dunque l’angolo espresso in radianti è il rapporto tra la lunghezza dell’arco che insiste su una circonferenza ed il raggio della stessa. Si noti che, poiché l’ampiezza dell’angolo in radianti è data dal rapporto tra due lunghezze (tra quella dell’arco e quella del raggio) allora è un numero puro e adimensionale (privo di unità di misura). Esprimere l’angolo in questo modo consente di avere una misura uguale per qualsiasi circonferenza.

A cosa corrisponde il radiante?

Dopo aver definito nel precedente paragrafo in cosa consiste la misura dell’ampiezza di un angolo il radianti è lecito chiedersi cosa è il radiante? Ritorniamo a questo punto alla formula del paragrafo precedente e chiediamoci quando l’ampiezza dell’angolo è pari ad 1 radiante. Ciò accade quando la lunghezza dell’arco, rettificato, è proprio pari al raggio:

\alpha_{rad}=1 \,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,l=r
angolo in radianti: definizione radiante

tale ampiezza è uguale per qualsiasi circonferenza e corrisponde ad un valore in sessagesimali di:

1 rad = 57,2958°

Nel prossimo paragrafo vediamo in che modo è possibile convertire gli angoli da radianti a gradi e viceversa.

Conversione da gradi in radianti e viceversa

Vediamo adesso in che modo è possibile trasformare l’ampiezza di un angolo da gradi in radianti. Per farlo consideriamo ancora una generica circonferenza e ci chiediamo a quanto corrisponde in radianti un angolo giro, ovvero un angolo di 360°. Sappiamo che all’angolo giro corrisponde un arco di lunghezza pari al perimetro della circonferenza. Ricordiamo che il perimetro della circonferenza è pari a:

P = 2\pi r

l’ampiezza dell’angolo giro in radianti è pari a:

\alpha_{rad} = \frac{l}{r} = \frac{P}{r} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi

dunque poiché sappiamo che l’angolo giro in radianti è pari a 2π, per conoscere la corrispondenza di un qualsiasi altro angolo in gradi o in radianti possiamo applicare la seguente proporzione:

2\pi: 360 = \alpha_{rad}:\alpha_{gradi}

ne consegue che, se vogliamo convertire un angolo da gradi a radianti dobbiamo utilizzare la formula:

\alpha_{rad} = \frac{2\pi \alpha_{grad}}{360}

Viceversa, se vogliamo convertire l’ampiezza di un angolo da radianti a gradi dobbiamo utilizzare la formula:

\alpha_{grad} = \frac{360*\alpha_{rad}}{2\pi}

Immaginiamo dunque di voler sapere a quanti radianti corrisponde l’angolo di 30°. Applichiamo la prima delle due formule:

\alpha_{rad} = \frac{2\pi 30}{360} = \frac{\pi}{6}

Si noti che nell’esprimere l’angolo in radianti si preferisce solitamente mantenere la forma in termini di frazioni di pi greco. Al contrario, se volessimo sapere a quanti gradi corrisponde un quarto di pi greco, dovremmo utilizzare la seconda formula:

\alpha_{grad} =\frac{360 \frac{\pi}{4}}{2\pi} = 45°
Convertitore online

Ecco un convertitore online che ti aiuterà nella conversione da gradi in radianti e viceversa

 

Tabella corrispondenza angoli principali

Vediamo di seguito una tabella che riassume in gradi ed in radianti gli angoli principali:

tabella angoli in radianti

 

 
Misurazione dell’ampiezza degli angoli in radianti
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