In questo breve appunto vediamo come viene espressa la misura dell’ampiezza degli angoli in gradi secondo il sistema sessagesimale. In particolare vedremo:

Cosa si intende per ampiezza di un angolo

In geometria l’angolo è un elemento con una sua ben precisa definizione. Consideriamo due semirette in un piano avente il punto di origine in comune, la parte di piano compresa tra le due semirette è definita angolo. In realtà quando due semirette si incontrano, queste dividono sempre il piano in due parti, per cui è sempre possibile definire due angoli:

angoli in gradi: definizione di angolo

misurare l’angolo dunque significherebbe misurare una porzione di piano non delimitata. Poiché un piano è steso all’infinito, allora anche ciascun angolo sarà esteso all’infinito e di conseguenza la sua area sarà sempre infinita. La definizione certo non ci aiuta a discriminare un angolo da un altro. Se ci concentriamo infatti sulla figura sopra, possiamo notare come le due semirette definiscano due angoli e come questi siano profondamente diversi. E’ vero che entrambi si estendono all’infinito, ma uno lo fa più lentamente di un altro. Data l’impossibilità di definire un angolo mediante la sua area, l’escamotage è stato di eseguire la misura dell’ampiezza dell’angolo che esprime la posizione relativa di una semiretta rispetto all’altra:

angoli in gradi: definizione di ampiezza di un angolo

Dunque quando parliamo di misura di un angolo, parliamo in realtà della misura della sua ampiezza

Come misurare l’ampiezza degli angoli in gradi secondo il sistema sessagesimale – forma normale

In questo appunto ci concentreremo sulla misura dell’ampiezza di un angolo secondo il sistema sessagesimale, un sistema ereditato dagli antichi babilonesi che avevano notato come la posizione delle stelle si ripetesse all’incirca ogni 360 giorni. Tale sistema consente di misurare l’ampiezza di qualsiasi angolo esprimendo questa in:

  • gradi: il grado viene definito come un angolo di ampiezza pari a 1/360 rispetto all’angolo giro. Il grado si indica con il simbolo°. Il grado è un numero appartenente ai numeri naturali e dovrebbe essere compreso tra 0 e 360°. L’utilizzo di numeri oltre tale intervallo può accadere quando si ha a che fare con le funzioni goniometriche
  • primi: un primo è la sessantesima parte di un grado. Dunque 60 primi fanno un grado. I primi si indicano con il simbolo ‘. I primi possono assumere valori interi compresi tra 0 e 59
  • secondi: un secondo è la sessantesima parte di un primo e la tremilaseicentesima parte di un grado. Dunque 60 secondi fanno un primo e 3600 secondi fanno un grado. I secondi si indicano con il simbolo “. I secondi possono assumere valori, anche non interi, minori di 60.

Date le seguenti definizioni, un generico angolo è espresso nella forma:

gradi° primi' secondi''

un esempio potrebbe essere l’angolo:

75°\,\, 25'\,\, 59,45''

Quando la misura dell’ampiezza di un angolo esprime i gradi, i primi e i secondi negli intervalli previsti, allora si dice che l’ampiezza dell’angolo è espressa in forma normale. Esiste una sola forma normale per ciascun angolo. Lo stesso angolo riportato sopra potrebbe essere espresso nelle seguenti forme:

74° \,\, 85' \,\,59,45 '' \\\,\\74° \,\, 84' \,\,119,45 '' 

Stiamo indicando ancora lo stesso angolo ma in queste forme i primi e i secondi sono maggiori di 59. Vedremo nel prossimo paragrafo come esprimere la misura dell’ampiezza di un angolo in forma normale se questa non lo è. Ricordiamo, infine, le misure delle ampiezze di alcuni angoli particolari espresse in forma normale:

  • retto 90° 0′ 0”
  • piatto 180°0’0′
  • giro 360°0’0”
Come convertire l’ampiezza di un angolo in forma normale

Quando la misura dell’ampiezza di un angolo è espressa in gradi ma non nella forma normale risulta difficile eseguire delle operazioni. E’ assolutamente importante trasformare la misura nella forma normale. Esistono due importanti casi di deviazione dalla forma normale. Il primo avviene quando i numeri che rappresentano i primi o i secondi o entrambi sono al di fuori dell’intervallo [0,60[ ed il secondo quando i gradi o i primi o entrambi sono rappresentati da numeri non interi. Vediamo di seguito i due casi

Caso 1: i primi e/o i secondi sono al di fuori dell’intervallo previsto dalla forma normale

Per convertire la misura dell’ampiezza degli angoli in gradi nella sua forma normale occorre eseguire le seguenti operazioni:

  1. verificare che il numero che rappresenta i secondi sia inferiore a 60. Se questo è maggiore o uguale a 60, allora bisogna dividerlo per 60. Il risultato della divisione o quoziente viene sommato al numero che rappresenta i primi, il resto della divisione sostituisce il numero che rappresenta i secondi
  2. Aggiorniamo il valore dei primi
  3. Come secondo step si verificano i primi. La verifica va eseguita dopo aver sommato l’eventuale risultato della divisione operata sui secondi. Se dopo tale somma il numero dei primi risulta maggiore o uguale di 60, come fatto per i secondi si esegue un’operazione di divisione per 60. Il risultato della divisione va aggiunto al numero che rappresenta i gradi, mentre il resto della divisione rimane a rappresentare i primi.

Vediamo tale trasformazione con un esempio:

120°59'190''

Il numero che rappresenta i secondi è maggiore di 60. Dividiamo 190 per 60 e otteniamo:

  • quoziente 3
  • resto 10

la misura allora diviene:

120°62'10''

Adesso notiamo che il valore dei primi è maggiore o uguale a 60. Per cui eseguiamo nuovamente la divisione:

  • quoziente 1
  • resto 2

Abbiamo così ottenuto la rappresentazione della misura dell’ampiezza dell’angolo in forma normale:

121°2'10''
Caso 2: I gradi e/o i primi non sono numeri interi

Un secondo importante caso in cui la misura dell’ampiezza degli angoli in gradi può non essere riportata in forma normale avviene quando i gradi e/o i primi non sono rappresentati da numeri interi. Un esempio potrebbe essere:

120,72°

Ricordiamo che la rappresentazione normale, consente di rappresentare un numero in forma decimale solo se questo rappresenta i secondi.

Attenzione! 120,72° non equivale a 120° e 72′ !!

Infatti per eseguire la conversione in forma normale occorre seguire i seguenti passi:

  • Verificare che i gradi siano numeri interi. Qualora ciò non accadesse, la parte intera continuerà a rappresentare il valore dei gradi , mentre sarà necessario moltiplicare la parte decimale per 60 in modo tale da ricavare il corrispondente valore in primi.
  • Si aggiorna il valore dei primi.
  • Se il valore dei primi è un numero decimale, allora si mantiene la sua parte intera come numero dei primi. La sua parte decimale viene moltiplicata per 60 per ottenere il corrispondente valore in secondi.

Riprendiamo l’esempio sopra riportato:

120,72°

i gradi sono decimali. Manteniamo 120 come valore per i gradi e moltiplichiamo 0,72 per 60 per conoscere il valore dei primi:

0,72*60 = 43,2

dunque otteniamo:

120°43,2'

Eseguiamo la stessa operazione per il valore dei primi. Il termine intero 43 continuerà a rappresentare i primi, mentre il prodotto di 0,2 per 60 rappresenterà i secondi:

0,2*60 = 12

Dunque 120,72° diviene in forma normale:

120°43'12''
Esercizi

Vediamo di seguito alcuni esempi di esercizi in cui la misura degli angoli in gradi richiede la trasformazione in forma normale

Esercizio 1

Trasformare in forma normale il seguente angolo:

72°120'120''

Sia i primi che i secondi sono maggiori di 60. Occorre per entrambi eseguire la divisione per 60 e calcolare quoziente e resto. Partiamo dai secondi, dividendo per 60 otteniamo:

  • quoziente 2
  • resto 0

aggiorniamo la misura dell’angolo:

72°122'0''

adesso dividiamo i primi per 60:

  • quoziente 2
  • resto 2

La misura in forma normale diventa allora:

74°2'

Esercizio 2

Trasformare in forma normale il seguente angolo:

320,552°

i gradi non sono rappresentati in forma intera. Moltiplichiamo la parte decimale per 60:

0,552*60=33,12

aggiorniamo la misura:

320°33,12'

poiché sono in forma decimale, moltiplichiamo la parte decimale per 60 per trasformarla in secondi:

0,12*60=7,2

dunque otteniamo:

320°33'7,2''

poiché i secondi possono essere rappresentati in forma decimale abbiamo così ottenuto l’angolo in forma normale.

Esercizio 3

Rappresenta in forma normale l’angolo:

55,92°119,98'120.12''

Ecco il caso peggiore di tutti. Abbiamo sia i gradi che i primi in forma decimale che i primi e i secondi superiori a 60. Eseguiamo la trasformazione in questo modo. Prima eliminiamo tutte le parti decimali trasformandoli in primi e secondi. Solo successivamente divideremo i secondi e i primi per 60.

Partiamo dai gradi e moltiplichiamo la parte decimale di 55,92 per 60:

0,92*60 = 55,2

dunque otteniamo che 0,92° equivalgono a 55,2 primi. Sommiamo questo valore a quello già esistente per i primi:

119,98+55,2= 175,18

Aggiorniamo il valore della misura dell’angolo in gradi:

55°175,18'120,12''

Adesso moltiplichiamo la parte decimale dei primi per 60:

0,18*60=10,8

dunque 0.18′ equivalgono a 10,8”. Sommiamo tale valore ai secondi:

120,12+10,8 = 130,92

dunque il nostro angolo diventa:

55°175'130,92''

Adesso, il valore dei secondi è un numero maggiore di 60. Dividiamo per 60 e otteniamo:

  • quoziente 2
  • resto 10,92

Aggiorniamo la nostra ampiezza dell’angolo:

55°177'10,92''

i primi sono anch’essi superiori a 60. Eseguiamo la solita divisione:

  • quoziente 2
  • resto 57

Otteniamo:

57°57'10,92''

Abbiamo così rappresentato il nostro angolo in forma normale.

Misurazione dell’ampiezza degli angoli in gradi