In questo appunto vediamo come determinare la mediana di un lato e la bisettrice di un angolo di un triangolo qualsiasi. Per comprendere a pieno il contenuto di questo appunto, specie nella parte relativa alle dimostrazioni, è necessario avere familiarità con il teorema di Carnot, la corrispondenza dei valori delle funzioni goniometriche tra archi associati e le formule di duplicazione delle funzioni goniometriche. In particolare in questo appunto vedremo:
- Come calcolare la mediana di un lato di un generico triangolo
- Come calcolare la bisettrice di un angolo di un generico triangolo
- Esempio di esercizio
Per ulteriori appunto di trigonometria e goniometria ti rimandiamo al relativo indice degli argomenti.
Come calcolare la mediana di un lato di un generico triangolo
Riproponiamo innanzitutto la definizione di mediana per un generico triangolo:
Le mediana è un segmento che congiunge un vertice del triangolo al punto medio del lato opposto.
Dunque in un generico triangolo è possibile definire 3 mediane che si incontrano in un punto detto baricentro o centro di massa del triangolo:
dimostriamo adesso, come è possibile determinare la lunghezza di una mediana. Consideriamo la mediana AM il cui vertice M è il punto medio del lato BC:
\overline{BM}=\overline{CM}=\frac{\overline{BC}}{2}
consideriamo adesso il triangolo ABM ed applichiamo il teorema di Carnot per determinare il lato AB:
\overline{AB}^{2}= \overline{AM}^{2}+\overline{BM}^{2}-2\overline{AM}\,\overline{BM} cos (A\widehat{M}B)
allo stesso modo utilizziamo il teorema di Carnot per determinare il lato AC nel triangolo AMC:
\overline{AC}^{2}= \overline{AM}^{2}+\overline{CM}^{2}-2\overline{AM}\,\overline{CM} cos (A\widehat{M}C)
si noti adesso che se:
A\widehat{M}C =180°-A\widehat{M}B
per cui:
cos(A\widehat{M}C)= cos(180°-A\widehat{M}B)
ma dagli archi associati, per due angoli supplementari, sappiamo che:
cos(180°-A\widehat{M}B) =- cos(A\widehat{M}B)
Inoltre, sapendo anche che CM = BM, possiamo dunque riscrivere la formula di AC ricavata dal teorema di Carnot:
\overline{AC}^{2}= \overline{AM}^{2}+\overline{CM}^{2}-2\overline{AM}\,\overline{CM} cos (A\widehat{M}C) = \overline{AM}^{2}+\overline{BM}^{2}+2\overline{AM}\,\overline{BM} cos (A\widehat{M}B)
sommiamo adesso membro a membro le due relazioni ottenute dal teorema di Carnot:
\overline{AB}^{2}= \overline{AM}^{2}+\overline{BM}^{2}-2\overline{AM}\,\overline{BM} cos (A\widehat{M}B) \\\,\\+\\\,\\\overline{AC}^{2}= \overline{AM}^{2}+\overline{BM}^{2}+2\overline{AM}\,\overline{BM} cos (A\widehat{M}B) \\\,\\=\\\,\\ \overline{AB}^{2}+\overline{AC}^{2}=2\overline{AM}^{2}+2\overline{BM}^{2}
Adesso, sappiamo che BM è la metà di BC, per cui:
\overline{AB}^{2}+\overline{AC}^{2}=2\overline{AM}^{2}+2\left(\frac{\overline{BC}}{2}\right)^{2}
riorganizziamo:
2\overline{AM}^{2} =\overline{AB}^{2}+\overline{AC}^{2}-\frac{\overline{BC}^{2}}{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \overline{AM}^{2} =\frac{\overline{AB}^{2}}{2}+\frac{\overline{AC}^{2}}{2}-\frac{\overline{BC}^{2}}{4}
estraiamo la radice quadrata escludendo il segno negativo:
\overline{AM} = \sqrt{\frac{2\overline{AB}^{2}+2\overline{AC}^{2}-\overline{BC}^{2}}{4}} = {\color{DarkOrange}\mathbf{\sqrt{\frac{2c^{2}+2b^{2}-a^{2}}{4}}}}
ecco dunque dimostrata la formula per calcolare la mediana di un generico triangolo. Possiamo estendere le formule anche alle altre due mediane:
{\color{DarkOrange}\mathbf{\overline{BN} = \sqrt{\frac{2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}} }\\\,\\ {\color{DarkOrange}\mathbf{\overline{CL} = \sqrt{\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}}}
Come calcolare la bisettrice di un angolo di un generico triangolo
La bisettrice di un angolo è la semiretta che ha la sua origine del vertice dell’angolo e che divide l’angolo in due parti uguali. Dunque per definizione, essendo la bisettrice una semiretta ha lunghezza infinita. Nel caso di un triangolo, ciascuna delle tre bisettrici è in realtà un segmento avente come vertici il vertice dell’angolo di cui è bisettrice ed il suo punto di intersezione con il lato opposto all’angolo:
le tre bisettrici di un triangolo si incontrano in un punto detto incentro del triangolo. Dimostriamo adesso come calcolare la bisettrice AD.
Calcoliamo l’area del triangolo utilizzando la formula che utilizza due lati ed il seno dell’angolo fra essi compreso:
A_{ABC} =\frac{1}{2}\overline{AB}\,\overline{AC}sin (\alpha)
ma la bisettrice AD divide il triangolo in due altri triangoli:
A_{ABC} = A_{ABD}+A_{ACD}
Adesso applichiamo la stessa formula per il calcolo dell’area anche per i triangoli ABD e ACD ed utilizzando questa volta la metà dell’angolo alfa:
A_{ABD} =\frac{1}{2}\overline{AB}\,\overline{AD}sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \\\,\\A_{ACD} =\frac{1}{2}\overline{AC}\,\overline{AD}sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)
dunque:
A_{ABC} = A_{ABD}+A_{ACD} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\frac{1}{2}\overline{AB}\,\overline{AC}sin (\alpha) = \frac{1}{2}\overline{AB}\,\overline{AD}sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)+\frac{1}{2}\overline{AC}\,\overline{AD}sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)
Adesso, dalle formule di duplicazione sappiamo che:
sin\alpha = 2sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)
sostituiamo questa forma nella precedente equazione:
\frac{1}{2}\overline{AB}\,\overline{AC}sin (\alpha) = \frac{1}{2}\overline{AB}\,\overline{AD}sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)+\frac{1}{2}\overline{AC}\,\overline{AD}sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\frac{1}{2}\overline{AB}\,\overline{AC}\,\,2sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2}\overline{AB}\,\overline{AD}sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)+\frac{1}{2}\overline{AC}\,\overline{AD}sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)
semplificando e raccogliendo otteniamo:
\overline{AB}\,\overline{AC}cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \overline{AB}\,\overline{AD}+\overline{AC}\,\overline{AD}
raccogliamo AD al secondo membro:
2\overline{AB}\,\overline{AC}cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \overline{AD}(\overline{AB}+\overline{AC})
ricaviamo AD:
\overline{AD} = \frac{2\overline{AB}\,\overline{AC}cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\overline{AB}+\overline{AC}} = {\color{DarkOrange}\mathbf{\frac{2bccos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{b+c}}}
Abbiamo dunque dimostrato la formula per la bisettrice. Allo stesso modo possiamo ricavare la bisettrice degli altri angoli:
{\color{DarkOrange}\mathbf{\overline {BE} = \frac{2ac cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}{a+c} }}\\\,\\{\color{DarkOrange}\mathbf{\overline {CF} = \frac{2ab cos\left(\frac{\gamma}{2}\right)}{a+b}}}
Esempio di esercizio
Calcolare le mediane e le bisettrici di un triangolo avente i lati di lunghezza: a=40cm; b=52cm; c=47,159cm e gli angoli di ampiezza α=47,269° β=72,731° γ=60°
Applichiamo le formule viste nei paragrafi precedenti. Partiamo dalle mediane:
\overline{AM} = \sqrt{\frac{2c^{2}+2b^{2}-a^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{4447,94+5408-1600}{4}}\approx\sqrt{2063,98}\approx45.43 cm \\\,\\ \overline{BN} = \sqrt{\frac{2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{3200+4447,94-2702}{4}}\approx\sqrt{1236,48}\approx 35,16cm\\\,\\ \overline{CL} = \sqrt{\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}} =\sqrt{\frac{3200+5408-2223,97}{4}}\approx \sqrt{1596} \approx 39,95cm
concludiamo con le bisettrici:
bis_{\alpha/2} = \frac{2bccos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{b+c} = \frac{2*52*47,159\,cos(23,634)}{52+47,159} \approx 45,312cm \\\,\\ bis_{\beta/2} =\frac{2ac cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}{a+c} =\frac{2*40*47,159\, cos\left(36,355\right)}{40+47,159} \approx 34,86 cm \\\,\\bis_{\gamma/2} =\frac{2ab cos\left(\frac{\gamma}{2}\right)}{a+b} =\frac{2*40*52* cos30}{40+52}\approx 39,159 cm
