Vediamo in questo appunto la definizione di media armonica, le sue proprietà ed alcuni esempi di calcolo. Abbiamo già trattato al seguente link gli indici di posizione media aritmetica, moda e mediana. Approfondiamo ulteriormente questo argomento con il presente appunto. Vedremo dunque:

Definizione e proprietà

La media armonica è una delle 3 medie pitagoriche ed è matematicamente definita nel seguente modo:

\mu_{h} = \frac{n}{\sum_{i}^{n}\frac{1}{x_{i}}}

o in alternativa:

\mu_{h} =\left[ \sum_{i}^{n} \frac{1}{nx_{i}}\right]^{-1}

Essa fornisce un valore quando tutti i numeri del set di dati sono positivi (e quindi diversi da zero!). Per come definita, altro non è che che il reciproco della media aritmetica dei reciproci. Vediamo di fare un esempio ci calcolo. Consideriamo il seguente set di dati:

1,3,5,7,15

ed eseguiamone il calcolo seguendo la definizione:

\mu_{h} = \frac{5}{1/1+1/3+1/5+1/7+1/15} = 2,87

Essa gode delle seguenti proprietà:

    • internalità. Ovvero se xm è il numero minimo del set di dati e xM è il numero massimo del set di dati, essa è inclusa nell’intervallo [xm;xM]:

x_{m} \leq \mu_{h} \leq x_{M}

  • rappresentatività. Ovvero se tutti i numeri della serie sono uguali, allora la media armonica coinciderà con tale valore
Relazione con media geometrica e media aritmetica

Esiste una relazione con la media geometrica ed aritmetica:

\mu_{h} \leq \mu_{g} \leq \mu

la media armonica è sempre minore uguale della media geometrica che è sempre minore o uguale della media aritmetica. Consideriamo il set di dati del paragrafo precedente e calcoliamone la media aritmetica:

\mu = \frac{1+3+5+7+15}{5} = \frac{31}{5}= 6.2

I due valori di armonica e aritmetica sono molto diversi (2,87 vs 6,2)! Accentuiamo ancora di più questo concetto sostituendo al set di dati 15 con 100:

1,3,5,7,100

la media armonica diventa:

\mu_{h} = \frac{5}{1/1+1/3+1/5+1/7+1/100} = 2,96

mentre quella aritmetica diventa:

\mu = \frac{1+3+5+7+100}{5} = \frac{116}{5}= 23.2

si noti come, nonostante un cambio importante di uno dei termini, la media armonica sia aumentata di 0.09 mentre la media aritmetica di 17! La media armonica tende fortemente verso il numero minore della lista cercando di smorzare l’impatto di numeri grandi ed accentuare l’impatto di numeri piccoli.

Quando ne è consigliato l’utilizzo

Vista la differenza con la media aritmetica, quando è giustificato utilizzare la media armonica? Essa è utile quando occorre calcolare il valore medio di grandezze che sono definite come il rapporto di altre grandezze. L’esempio classico è quello del calcolo della velocità media. Si immagini un percorso di 200 km ed un oggetto che compie i primi 100 km a 10 km/h ed il secondo tratto a 1000 km/h. Se hai dimestichezza con le leggi della fisica, ti risulterà semplice calcolare che l’oggetto compie il primo tratto in 10 ore mentre compie il secondo tratto in un decimo di ora. Il tempo totale per eseguire il percorso sarà 10,1 ore.

Utilizzando la media aritmetica, avremmo che la velocità media dell’oggetto sarebbe 505km/h. Se l’oggetto viaggiasse in modo costante con questa velocità, compierebbe il tragitto in circa 0,4 ore (molto lontane dalle 10,1 reali!).

Utilizzando la media armonica avremo invece:

\mu_{h} = \frac{2}{1/10+1/1000} = \frac{2}{0.1+0.001} = \frac{2}{0.1001} = 19.98 km/h

calcolando adesso il tempo di percorrenza dividendo al percorso totale (200 km) la velocità media armonica (19.98 km/h) otterremo esattamente 10.1 h.

Media Armonica
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